Teorema lui Hartogs

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Hartogs este o afirmație despre condiții suficiente pentru analiticitatea unei funcții a mai multor variabile complexe . În cazul mai multor variabile complexe, o condiție suficientă pentru analiticitate este analiticitatea față de fiecare variabilă. Pentru funcțiile variabilelor reale, acest lucru nu este adevărat: funcția este infinit diferențiabilă în raport cu (sau ) când (sau ) este fix, dar nu este nici măcar continuă la origine. $f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})))),f(0,0)=0$ $X$ $y$ $y$ $X$ $f$

Formulare

Dacă o funcție cu valori complexe este definită într- un set deschis de spațiu complex -dimensional și este analitică în fiecare variabilă atunci când celelalte variabile sunt fixe, atunci funcția este analitică în . $F$ $\Omega$ $n$ $\mathbb{C}^{n}$ $z_{j)$ $F$ $\Omega$

Istorie

Sub ipoteza suplimentară a continuității, această afirmație este uneori numită lema Osgood , a fost demonstrată de William Osgood [1]

Note

↑ Osgood, William F. (1899), Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen , Mathematische Annalen (Springer Berlin/Heidelberg). — T. 52: 462–464, ISSN 0025-5831 , DOI 10.1007/BF01476172

Literatură

Hormander L. Introducere în teoria funcţiilor mai multor variabile complexe. - M . : Mir, 1968. - 280 p.