Teorema asupra produsului segmentelor de coarde

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Teorema produsului segmentelor de coarde descrie raportul segmentelor formate din două coarde care se intersectează ale unui cerc. Teorema afirmă că produsele lungimilor segmentelor fiecăruia dintre coarde sunt egale.

Enunțul teoremei

Pentru două acorduri AC și BD care se intersectează în punctul S , este valabilă următoarea egalitate:

Este adevărat și invers, adică dacă pentru două segmente AC și BD care se intersectează în punctul S, egalitatea de mai sus este valabilă, atunci capetele lor A , B , C și D se află pe același cerc. Cu alte cuvinte, dacă diagonalele patrulaterului ABCD se intersectează în punctul S și este valabilă egalitatea de mai sus, atunci acest patrulater este înscris .

Punct de grad

Valoarea a două produse din teorema coardelor depinde de distanța punctului de intersecție S de centrul cercului și se numește valoarea absolută a gradului punctului S. Mai precis, aceasta poate fi exprimată astfel:

unde r este raza cercului și d este distanța dintre centrul cercului și punctul de intersecție S . Această proprietate urmează direct din aplicarea teoremei coardei la a treia coardă prin punctul S și centrul cercului M (vezi figura).

Alături de teorema secantei și tangentei și a celor două secante , teorema coardelor care se intersectează este unul dintre cele trei cazuri principale ale unei teoreme mai generale despre două drepte care se intersectează și un cerc - teorema puterii punctului .

Demonstrarea teoremei

Teorema poate fi demonstrată folosind triunghiuri similare (prin teorema unghiului înscris ). Luați în considerare unghiurile triunghiurilor ASD și BSC :

(unghiuri bazate pe acordul AB) (unghiuri bazate pe acorduri CD) (colturi verticale)

Aceasta înseamnă că triunghiurile ASD și BSC sunt similare și, prin urmare:

Puteți vedea o ilustrare interactivă a teoremei și demonstrarea acesteia [1] [2] .

Note

  1. ↑ Amit Quackenbush. Teorema  acordurilor care se intersectează . GeoGebra . Preluat la 30 aprilie 2021. Arhivat din original la 21 ianuarie 2021.
  2. ↑ Josiah Fan Ern Wei. Teorema  coardelor intersectării . GeoGebra . Preluat la 30 aprilie 2021. Arhivat din original la 21 ianuarie 2021.

Literatură