Teorema de reprezentare a lui Rees

Teorema reprezentării Rees (de asemenea teorema Rees-Fréchet ) este o declarație de analiză funcțională , conform căreia fiecare funcțională liniară mărginită dintr-un spațiu Hilbert poate fi reprezentată printr-un produs interior folosind un element. Numit după matematicianul maghiar Frigyes Rys .

Formulare

Să fie un spațiu Hilbert și o funcțională liniară mărginită în spațiu . Apoi există un element unic al spațiului , astfel încât pentru un arbitrar . În plus, egalitatea este îndeplinită: . $H$ $f\în H'$ $H$ $y$ $H$ $x\în H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Dovada

$\fantă)$ nucleul unei funcționale liniare este un subspațiu vectorial . $H$

Existenta $y$

Dacă , atunci este suficient să luați . Să presupunem că . Atunci , și, prin urmare, complementul ortogonal al nucleului nu este egal cu . Alegem un vector arbitrar diferit de zero . Lasă . Vom arăta asta tuturor . Luați în considerare vectorul . Rețineți că și astfel . Pentru că , atunci . Prin urmare, $f\equiv 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ $\ker(f)^{\bot )$ $f$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\în H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\în \ker(f)$ $b\in \ker(f)^{\bot )$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle}b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ interval -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

De aici și . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Unicitate $y$

Să presupunem că și elementele satisfac . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Aceasta înseamnă că egalitatea este adevărată pentru toată lumea , în special , de la care se obține egalitatea . $x\în H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Egalitatea normelor

Pentru a o demonstra, mai întâi din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky avem: . Prin urmare, conform definiției normei funcționalului, avem: În plus, , de unde . Combinând cele două inegalități, obținem . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Vezi și

Teorema Lax-Milgram