Teoria Chern-Simons

Teoria Chern-Simons este o teorie topologică tridimensională a câmpului cuantic de tip Schwartz, propusă de Edward Witten . Numit după geometrii Zhen Xingshen (Chern) și James Simons . Teoria este numită astfel deoarece efectul său este proporțional cu forma Chern-Simons.

În fizica materiei condensate , teoria Chern–Simons descrie ordinea topologică în stările efectului Hall cuantic fracționat . Din punct de vedere matematic, teoria Chern-Simons este interesantă deoarece vă permite să calculați invarianții nodurilor , cum ar fi polinomul Jones .

Teoria Chern-Simons este determinată de alegerea unui grup simplu de Lie G, numit grup gauge al teoriei, și a unui număr k, care intră în acțiune ca factor și se numește nivelul teoriei. Acțiunea teoriei depinde de alegerea gabaritului, dar funcția generatoare a teoriei câmpurilor cuantice este determinată în mod unic pentru o valoare întreagă a nivelului.

Teoria clasică

Teoria Chern-Simons poate fi definită pe o varietate topologică arbitrară M cu sau fără graniță. Deoarece această teorie este de tip Schwartz, nu este nevoie să se introducă o metrică pe M .

Teoria Chern-Simons este o teorie gauge, adică configurațiile clasice de câmp într-o teorie pe M cu un grup gauge G sunt descrise printr-un pachet G principal peste M . Forma conexă a pachetului G principal peste M se notează cu ; ia valori în algebra Lie g . În cazul general, conectivitatea A este determinată pe hărți separate, valorile lui A pe hărți diferite sunt legate prin transformări de gabarit. Transformările gauge sunt caracterizate prin faptul că derivata covariantă este transformată în reprezentarea adjunctă a lui G . $A:M\la g$ $D=d+A$

Apoi acțiunea este scrisă astfel:

S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\mathrm {tr} (A\wedge dA+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A )

Să introducem curbura conexiunii

F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega ^{2}(M,g)

Atunci ecuația mișcării ia forma

{\frac {\delta S}{\delta A}}=0={\frac {k}{2\pi }}F

Soluțiile sunt conexiuni plate, care sunt definite prin holonomie în jurul ciclurilor necontractibile pe M . Conexiunile plate sunt în corespondență unu-la-unu cu clasele de echivalență ale homomorfismelor din grupul fundamental M la grupul gauge G .

Deși acțiunea depinde de gabarit, funcționalitatea generatoare în teoria cuantică este bine definită pentru întregul k .

Dacă M are o limită , atunci există date suplimentare care descriu alegerea trivializării pachetului G principal pe N. O astfel de alegere definește o mapare de la N la G. Dinamica acestei mapări este descrisă de modelul WZW pe N cu nivelul k . $N=\partial M$

Luați în considerare transformarea gabaritului acțiunii Chern-Simons. Sub transformarea gauge g , forma de conexiune A se transformă ca

A_{\mu }\to g^{*}A=g^{-1}A_{\mu }g+g^{-1}\partial _{\mu }g

Pentru acțiunea Chern-Simons avem

S(g^{*}A)=S(A)+{\frac {k}{4\pi }}\int _{\partial M}\mathrm {Tr} (A\wedge dg\; g^{-1})-2\pi k\int _{M}g^{*}\sigma

Aici

\sigma ={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\mathrm {Tr} (\mu \wedge \mu \wedge \mu )

unde este forma Maurer-Cartan. $\mu =X^{-1}dX,X\in G$

Obținem adăugarea la acțiunea definită pe graniță. Arată ca un membru al Vess-Zumino . Din cerința invarianței gauge a corelatorilor cuantici, obținem cuantizarea k , deoarece integrala funcțională trebuie determinată în mod unic.

Cuantizare

În cuantizarea canonică a teoriei Chern-Simons, o stare este definită pe fiecare suprafață bidimensională . Ca în orice teorie cuantică a câmpului, stările corespund razelor din spațiul Hilbert. Deoarece avem de-a face cu o teorie a câmpului topologic de tip Schwartz, nu avem un timp alocat predeterminat, deci , o suprafață Cauchy arbitrară. $\Sigma \subset M$ $\Sigma$

Codimensiunea este egală cu 1, deci putem tăia și obține o varietate cu o limită, pe care dinamica clasică este descrisă de modelul Wess-Zumino-Novikov-Witten. Witten a arătat că această corespondență se păstrează și în mecanica cuantică. Adică, spațiul de stări Hilbert este întotdeauna finit-dimensional și poate fi identificat cu spațiul blocurilor conforme ale modelului -WZW cu nivel . Blocurile conformale sunt factori local holomorfi și antiholomorfi ale căror produse se adaugă la funcțiile de corelare ale unei teorii bidimensionale a câmpului conformal. $\Sigma$ $M$ $\Sigma$ $G$ $k$

De exemplu, dacă , atunci spațiul Hilbert este unidimensional și există o singură stare. Când stările corespund reprezentărilor integrabile ale nivelului unei extensii afine a algebrei Lie . Luarea în considerare a suprafețelor de un tip superior nu este necesară pentru a rezolva teoria Chern-Simons. $\Sigma =S^{2}$ $\Sigma =T^{2}$ $k$ $g$

Observabile

Observabilele din teoria Chern-Simons sunt funcții punctuale ale operatorilor invarianți de gabarit, cel mai adesea considerate bucle Wilson . Bucla Wilson este holonomia din jurul inelului în , calculată într - o reprezentare a grupului . Deoarece vom lua în considerare produsele buclelor Wilson, putem considera reprezentările ca fiind ireductibile. $n$ $M$ $R$ $G$

\langle W_{R}(K)\rangle ={\text{Tr))_{R}\,P\,\exp {i\oint _{K}A)

Aici , este forma 1 a conexiunii, luăm valoarea principală a integralei Cauchy, este exponentul ordonat de-a lungul căii. $A$ $P\exp$

Luați în considerare o legătură în , care este un set de cicluri deconectate. Un interes deosebit este funcția de corelație punct, care este produsul buclelor lui Wilson în reprezentarea fundamentală în jurul acestor cicluri. Această funcție de corelare poate fi normalizată prin împărțirea ei la o funcție de punct 0 (suma statistică ). $L$ $M$ $l$ $l$ $G$ $Z$

Dacă este o sferă, atunci astfel de funcții normalizate sunt proporționale cu polinoamele (invarianții) cunoscute ale nodurilor. De exemplu, la , teoria Chern-Simons cu nivel dă $M$ $G=U(N)$ $k$

{\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))))\times \;{\mbox{polinom HOMFLY)}

La , polinomul HOMFLY devine polinomul Jones . În acest caz , se obține polinomul Kauffman . $N=2$ $SO(N)$

Literatură

S.-S. Chern și J. Simons, Forme caracteristice și invarianți geometrici , Analele matematice. 99 , 48-69 (1974). (Este necesar un abonament pentru accesul online)
Edward Witten , Teoria câmpului cuantic și polinomul Jones , Commun.Math.Phys.121:351,1989.
Edward Witten , Chern-Simons Theory as a String Theory , Prog.Math.133:637-678,1995.
Marcos Marino, Teoria Chern-Simons și Corzile topologice , Rev.Mod.Phys.77:675-720,2005.
Marcos Marino, Teoria Chern-Simons, modele matrice și șiruri topologice (Seria internațională de monografii despre fizică), OUP, 2005.
Anton Nazarov, WZW Models and Chern-Simons Theory (link inaccesibil)