Problema exact rezolvabila

În prezent, nu există o definiție unică a unei probleme exact rezolvabile pentru toate ramurile matematicii. Acest lucru se datorează particularităților problemelor în sine și metodelor de căutare a soluției lor. În același timp, teoremele de bază care determină existența și unicitatea soluțiilor se bazează pe principii generale, care vor fi prezentate mai jos.

Ecuații algebrice

Pentru a rezolva o ecuație cu o necunoscută înseamnă a găsi valorile ( rădăcinile ecuației), zerourile funcției care satisfac această ecuație [1] .

Valorile necunoscutului care satisfac ecuația, adică atunci când sunt înlocuite, transformă ecuația într-o identitate, se numesc rădăcinile ecuației, precum și polinomul corespunzător. [2] .

În consecință, Rezolvând o mulțime (sistem) de ecuații

cu necunoscute se numește mulțime de valori ale necunoscutelor care satisfac simultan fiecare ecuație a sistemului. Sistemul de ecuații este complet rezolvat dacă se găsesc toate astfel de soluții. [3] .

Soluția este aproximativă dacă, la înlocuirea într-o ecuație algebrică (sistem de ecuații), diferența dintre valoarea părților din dreapta și stânga a ecuației va fi sub eroarea admisă a soluției.

Ecuații diferențiale (integro-diferențiale)

În ecuațiile diferențiale și integro-diferențiale, fiecare ecuație are un număr infinit de soluții numerice și, prin urmare, întrebarea este despre posibilitatea de a descrie mulțimea tuturor soluțiilor numerice ale unei ecuații diferențiale date [4] .

Soluţia ( integrarea ) unei ecuaţii diferenţiale constă în găsirea de funcţii ( soluţii , integrale ) într-un anumit interval finit sau infinit . Rețineți că soluțiile pot fi verificate prin substituție în ecuația [5] .

Integrarea unui sistem de ecuații diferențiale poate fi adesea redusă la integrarea unei ecuații diferențiale obișnuite de ordin n , prin eliminarea succesivă a ( n  - 1) variabile și derivatele acestora sau înlocuirea derivatelor superioare cu funcții auxiliare necunoscute [6] .

Soluția este aproximativă dacă, pe tot intervalul de integrare, atunci când soluția este înlocuită într-o ecuație diferențială (sistem de ecuații), diferența dintre valoarea părților din dreapta și din stânga ecuației va fi sub eroarea admisă a soluției. .

Statistici matematice

Schemele de criterii cu un eșantion fix și criteriile secvențiale sunt cazuri speciale de funcții de decizie sau reguli de comportament asociate cu adoptarea unei ipoteze (decizie) pentru fiecare eșantion al unei trăsături observate [7] .

Criterii de fundamentare a deciziilor

Căutarea soluțiilor atât ale ecuațiilor algebrice cât și ale ecuațiilor diferențiale se bazează pe teoreme privind existența soluțiilor și unicitatea acestora.

Teoreme de existență

Pentru ca formularea unei probleme de valoare inițială sau limită să fie corectă, este necesară o dovadă a existenței unei soluții, indicând uneori modul de construire a acesteia. Existența unui fenomen fizic descris de o ecuație diferențială dată nu poate decât să sugereze, dar nu să dovedească, existența unei soluții; dovada existenței verifică independența modelului matematic [8] .

Pentru ecuațiile algebrice, teoremele de existență se bazează pe un număr de teoreme. În special, asupra teoremei Abel-Ruffini privind imposibilitatea obținerii de soluții în radicali pentru orice ecuație de putere peste a cincea; pe teorema privind corespondența numărului de rădăcini ale gradului unei ecuații algebrice; pe criteriile de stabilitate Routh-Hurwitz , teorema Sturm , care determină dacă soluțiile au o parte reală negativă etc.

Pentru un sistem de ecuații se folosește regula lui Cramer ; condiția pentru soluția netrivială a ecuațiilor liniare omogene cu partea dreaptă zero, care constă în dispariția principalului determinant al sistemului; condiția independenței liniare a ecuațiilor, care constă în egalitatea numărului de necunoscute cu numărul de ecuații ale sistemului; condiţii pentru prezenţa unei soluţii ca o consecinţă a egalităţii rangurilor matricei şi matricei extinse a sistemului etc. [9] .

Pentru ecuațiile diferențiale, teoremele de existență sunt construite pe metoda Cauchy , care constă în găsirea unei soluții sub forma unei serii și demonstrarea convergenței acestei serii pentru ecuații diferențiale sub ipoteze destul de largi despre partea dreaptă; pe metoda de aproximare Picard [10] , metoda imaginii comprimate [11] , etc.

Teoreme de unicitate pentru soluții

Această clasă de teoreme determină unicitatea și completitudinea soluțiilor atât ale ecuațiilor algebrice, cât și ale ecuațiilor integro-diferențiale. În special, pentru ecuațiile diferențiale, interpretarea geometrică a teoremelor este următoarea: o singură curbă integrală trece prin fiecare punct al domeniului D. Pentru un sistem de ecuații algebrice, teorema unicității afirmă că un sistem de n ecuații nu poate avea mai mult de n soluții. În geometria analitică, teorema unicității determină unicitatea expansiunii unui vector în ceea ce privește baza, precum și independența vectorilor bazei (completitudinea bazei) [12] . În teoria funcțiilor, teorema unicității dovedește unicitatea reprezentării fiecărui set de puncte dintr-o anumită zonă de către o funcție analitică specifică [13] . În ceea ce privește unicitatea reprezentării prin funcții analitice, trebuie avut în vedere că, în cazul general, același set de puncte poate fi descris atât printr-o anumită funcție, cât și printr-o funcție generalizantă care ia o formă diferită în fiecare dintre domeniile funcţiei. Aceasta generează bifurcații (ramificații) ale funcției și, în consecință, soluții ale sistemului de modelare de ecuații [14] .

Această clasă de teoreme, de regulă, se dovedește „prin contradicție”, adică se presupune că în condițiile date ale teoremei există mai multe soluții, vectorii de bază pot fi exprimați unul prin altul etc. și luând în considerare această presupunere, ei conduc la concluzia că concluzia făcută este presupuneri incorecte, ceea ce demonstrează principala afirmație a teoremei asupra unicității soluției [15] .

Forme de decizie

Soluțiile ecuațiilor pot fi obținute în una din două forme:

Forma analitică este întotdeauna de preferat deoarece permite utilizarea soluției pentru analiza directă a influenței parametrilor săi. În termeni numerici, acest lucru este dificil. Sunt utilizate metode numerice și aproximative de soluție datorită faptului că gama de soluții exacte este semnificativ limitată [16] . Soluțiile combinate dau cel mai bun rezultat, atunci când metoda numerică se bazează pe o soluție analitică a unei probleme apropiate, care este extinsă prin metode numerice în zona problemelor în care nu există soluții analitice. Principalul pericol care există în această metodă combinată este că nu ține cont de particularitățile tranziției de la o problemă exact rezolvabilă la o problemă rezolvabilă numeric. În special, soluțiile aproximative existente pentru sistemele dinamice cu parametrii concentrați, prin soluțiile analitice cunoscute pentru sistemele cu parametrii distribuiți, conțin o eroare sistematică în faza de oscilații, care apare din cauza faptului că la trecerea la limita de la sistemele cu parametrii repartizați. parametrii concentrați la sisteme cu parametri distribuiți, relațiile de fază sunt transformate în așa fel încât să nu fie recuperabile în timpul tranziției inverse [17] .

Note

  1. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 41
  2. ↑ Vinogradov I. M. Ecuație algebrică. Enciclopedie matematică. M., Enciclopedia Sovietică, vol. 1, p. 192
  3. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 49
  4. ↑ Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare. M., Nauka, 1970, p. 9
  5. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 252
  6. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 253
  7. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 565
  8. ↑ Korn G., Korn T., Manual de matematică pentru cercetători și ingineri. M., Nauka, 1968, p. 253
  9. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. M., Nauka, 1968, p. cincizeci
  10. ↑ Freiman L. S. Teoreme de existență. M., Nauka, 1968.
  11. ↑ Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare. M., Nauka, 1970, p. 153
  12. ↑ Gursky E. I., Ershova V. V. Fundamentele algebrei liniare și geometriei analitice. Minsk, Școala Superioară, 1968, p. 113
  13. ↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Funcțiile unei variabile, părțile 1-2, M., Nauka, 1969, p. 426
  14. ↑ Soluții pentru linii elastice infinite
  15. ↑ Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare. M., Nauka, 1970, p. 159
  16. ↑ Elsgolts L. E. Ecuații diferențiale și calculul variațiilor. M., Nauka, 1969, p. 39.
  17. ↑ Câteva caracteristici ale simulării oscilațiilor forțate84