Functor exact

Un functor exact este un functor care mapează secvențe exacte la cele exacte. Functorii exacti sunt convenabil pentru calcule în algebra omologică, deoarece pot fi aplicați imediat rezolvenților obiectelor . O mare parte din algebra omologică a fost construită pentru a face posibilă lucrarea cu functori care nu sunt exacti, dar diferența lor față de cei exacti este controlabilă.

Definiție

Fie și să fie categorii abeliene și să fie un functor aditiv . Luați în considerare o secvență exactă scurtă arbitrară : $P$ $Q$ $F:P\la Q$

0\la A\la B\la C\la 0

obiecte . $P$

Dacă este un functor covariant , este: $F$ $F$

semi -precise dacă este exactă; $F(A)\la F(B)\la F(C)$
exact în stânga dacă este exact; $0\la F(A)\la F(B)\la F(C)$
exact în dreapta dacă este exact; $F(A)\la F(B)\la F(C)\la 0$
exact dacă este exact. $0\la F(A)\la F(B)\la F(C)\la 0$

Dacă este un functor contravariant de la la , este: $G$ $P$ $Q$ $G$

semi -precise dacă este exactă; $G(C)\la G(B)\la G(A)$
exact în stânga dacă este exact; $0\la G(C)\la G(B)\la G(A)$
exact în dreapta dacă este exact; $G(C)\la G(B)\la G(A)\la 0$
exact dacă este exact. $0\la G(C)\la G(B)\la G(A)\la 0$

Nu este necesar să luăm exact acest tip de secvență ca fiind cea inițială; de exemplu, un functor exact poate fi definit ca un functor care mapează secvențe exacte ale formei la secvențe exacte. $A\la B\la C$

Există o altă definiție a unui functor exact: un functor covariant este lăsat exact dacă și numai dacă mapează limite finite la limite. Când înlocuiți cuvântul „covariant” cu „contravariant” sau „stânga” cu „dreapta”, trebuie să înlocuiți simultan „limite” cu „colimite”. Un functor exact este un functor care este exact stânga și dreapta.

Exemple

Orice echivalență a categoriilor abeliene este exactă.
Cel mai important exemplu de functor exact stâng este Hom . Dacă este o categorie abeliană arbitrară și este obiectul ei, atunci este un functor aditiv covariant în categoria grupurilor abeliene [1] . Acest functor este exact dacă și numai dacă este proiectiv . În consecință, un functor contravariant este exact dacă și numai dacă este injectiv . ${\mathcal {A}}$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ $A$
Dacă este un modul din dreapta , atunci este posibil să se definească un functor din categoria modulelor din stânga folosind produsul tensor peste . Acest functor este exact exact; este exact dacă și numai dacă este un modul plat . $T$ $R$ $H_{T}$ $R$ ${\mathbf {Ab))$ $R:H_{T}(X)=T\otimes X$ $T$
Cele două exemple anterioare pot fi generalizate: în orice pereche de functori aditivi adjuncți, adjunctul din stânga este exact exact și altul din dreapta este exact.

Note

↑ Jacobson, 2009 , Teorema 3.1, p. 98.

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Nathan Jacobson . Algebră de bază. — al 2-lea. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier , eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Note de curs la matematică (în franceză) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0 .