Unghi paralel

Unghiul de paralelism în geometria Lobachevsky este unghiul dintre perpendiculara pe dreapta dată și linia paralelă asimptotic trasată dintr-un punct care nu se află pe dreapta dată.

În geometria euclidiană, unghiul de paralelism este întotdeauna corect.

În geometria Lobachevsky , unghiul de paralelism este întotdeauna acut. Pe planul Lobachevsky cu curbură −1, unghiul de paralelism pentru un punct aflat la distanță de linie este de obicei notat . $A$ $\Pi (a)$

Proprietăți și relații

$\Pi (a)$ este un unghi ascuțit la un catet egal cu , într-un triunghi hiperbolic dreptunghic care are două laturi paralele asimptotice. $A$
$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ și }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi(a)=0.$

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{ -A}}}\ ,$

$\cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}} \ ,$

$\operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^ {a}-e^{-a}}}$

$\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),$

unde sh, ch, th, sech și csch sunt funcții hiperbolice și gd este funcția Gudermann .

Istorie

Unghiul de paralelism a fost considerat de Lobaciovski [1] . În special, el a derivat relația

\operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.

Link -uri

↑ Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. - Berlin, 1840.

Literatură

D. Mordukhai-Boltovskoy . Despre construcțiile geometrice din spațiul Lobaciovski // În mem. Lobatschevskii. - 1927. - T. 2 . — S. 67–82 . (Rusă)
Lobaciovski , Nikolai Ivanovici Studii geometrice în teoria dreptelor paralele . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1945. - 176 p.