Substituție trigonometrică universală

Substituția trigonometrică universală , în literatura engleză numită substituție Weierstrass după Karl Weierstrass , este folosită în integrare pentru a găsi antiderivate , integrale definite și nedefinite ale funcțiilor raționale ale funcțiilor trigonometrice. Fără pierderea generalității, în acest caz putem considera astfel de funcții drept funcții raționale ale sinusului și cosinusului. Înlocuirea folosește tangenta unui jumătate de unghi .

Înlocuire

Luați în considerare problema găsirii unei funcții raționale antiderivate a sinusului și cosinusului.

Să înlocuim sin x , cos x și diferența dx cu funcții raționale ale variabilei t , iar produsul lor diferențiala dt , astfel: [1]

{\begin{aliniat}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}\\[8pt]dx&={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}\end{aliniat}}

pentru valorile x situate în interval

-\pi <x<\pi .

Introducerea notației

Presupunem că variabila t este egală cu tangenta unui semiunghi:

t=\operatorname {tg}{\frac {x}{2}}.

În intervalul − π < x < π , aceasta dă

x=2\operatorname {arctg} (t),

iar după diferențiere obținem

dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.

Formula pentru tangentei unui jumătate de unghi dă pentru sinus

{\begin{aliniat}\sin x=\sin \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=2\sin(\operatorname {arctg}(t))\cos(\operatorname {arctg} (t))\\[6pt]&=2\,{\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2))))}\,{\frac {1}{{\sqrt {1 +t^{2}}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\end{aliniat}}

iar pentru cosinus formula dă

{\begin{aliniat}\cos x=\cos \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=\cos ^{2}(\operatorname {arctg}(t))-\sin ^{ 2}(\operatorname {arctg}(t))\\[6pt]&=\left({\frac {1}({\sqrt {1+t^{2))))}\right)^{2 }-\left({\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2}}}}}\right)^{2}={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}.\end{aliniat}}

Exemple

Primul exemplu

Să găsim integrala

\int {\frac {1}{3-5\cos x}}\,dx.

Folosind substituția Weierstrass, obținem

\int {\frac {1}{3-5\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)))\cdot {\frac {2\ ,dt}{1+t^{2}}}=\int {\frac {dt}{4t^{2}-1}}=\int {\frac {dt}{(2t-1)(2t+ unu )}}.

Pentru a calcula ultima integrală, folosim expansiunea fracțiilor :

{\begin{aliniat}&{}\quad \int \left({\frac {1/2}{2t-1}}-{\frac {1/2}{2t+1}}\,\right) dt\\[6pt]&={\frac 14}\ln \left|2t-1\right|-{\frac 14}\ln \left|2t+1\right|+{\text{constant))= {\frac 14}\ln \left|{\frac {2t-1}{2t+1}}\right|+{\text{constant}}\\[6pt]&={\frac 14}\ln \ stânga|{\frac {2\operatorname {tg}\left({\frac x2}\right)-1}{2\operatorname {tg}\left({\frac x2}\right)+1}}\right |+{\text{constant}}.\end{aligned}}

În plus, conform formulei tangentei semiunghiului, putem înlocui tg( x / 2) cu sin x / (1 + cos x ), și apoi obținem

{\frac 14}\ln \left|{\frac {2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}}\right|+{\text{constant)),

sau mai putem înlocui tg( x /2) cu (1 − cos x )/sin x .

Al doilea exemplu: integrală definită

Diferența dintre integrarea definită și nedefinită este că atunci când calculăm integrala definită, nu trebuie să convertim funcția rezultată din variabila t înapoi într-o funcție din variabila x , dacă modificăm corect limitele integrării.

De exemplu,

\int _{0}^{{\pi /6}}{\frac {1}{5+4\sin x}}\,dx=\int _{0}^{{2-{\sqrt {3 }}}}{\frac {1}{5+4\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}}\,{\frac {2\,dt}{ 1+t^{2}}}

Dacă x se schimbă de la 0 la π /6, sin x se schimbă de la 0 la 1/2. Aceasta înseamnă că valoarea 2 t /(1 + t 2 ) egală cu sin se schimbă de la 0 la 1/2. Atunci se pot găsi limitele integrării asupra variabilei t :

{\frac {2t}{1+t^{2}}}={\frac 12},

înmulțind ambele părți ale ecuației cu 2 și cu (1 + t 2 ), obținem:

1+t^{2}=4t.

Rezolvând ecuația pătratică , obținem două rădăcini

t=2\pm {\sqrt {3)).

Se pune întrebarea: care dintre aceste două rădăcini este potrivită pentru cazul nostru? Se poate răspunde uitându-se la comportament

\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}

în funcţie de x şi în funcţie de t . Când x se schimbă de la 0 la π , funcția sin x se schimbă de la 0 la 1 și apoi înapoi la 0. Această funcție trece prin valoarea 1/2 de două ori - la schimbarea de la 0 la 1 și la schimbarea înapoi de la 1 la 0. Când t se schimbă de la 0 la ∞, funcția 2 t /(1 + t 2 ) se schimbă de la 0 la 1 (când t = 1) și apoi înapoi la 0. Trece valoarea 1/2 la schimbarea de la 0 la 1 și când schimbarea înapoi: prima dată la t = 2 − √3 și apoi din nou la t = 2 + √3.

Făcând transformări algebrice simple, obținem