Ecuația lui Pauli

Ecuația Pauli este o ecuație a mecanicii cuantice non-relativistă care descrie mișcarea unei particule încărcate cu spin 1/2 (de exemplu, un electron ) într-un câmp electromagnetic extern . Propus de Pauli în 1927 . A nu se confunda cu ecuația cinetică de bază , numită uneori și ecuația Pauli.

Ecuația Pauli este o generalizare a ecuației Schrödinger , care ia în considerare prezența propriului moment unghiular mecanic al unei particule - spin. O particulă cu spin 1/2 poate fi în două stări diferite de spin cu proiecții de spin +1/2 și -1/2 pe o direcție (aleasă în mod arbitrar), de obicei luată ca axa z . În conformitate cu aceasta, funcția de undă a unei particule (unde r este coordonata particulei, t este timpul ) este bicomponentă: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.

Când axele de coordonate sunt rotite și sunt transformate ca componente spinare . În spațiul funcțiilor de undă spinor, produsul scalar și are forma $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Operatorii mărimilor fizice sunt matrici 2x2 care, pentru mărimi (observabile) independente de spin, sunt multipli ai matricei de identitate.

În virtutea legilor generale ale electrodinamicii, un sistem încărcat electric cu un moment de spin diferit de zero are și un moment magnetic proporțional cu : (g este raportul giromagnetic ). Pentru momentul orbital , unde e este sarcina, m este masa particulei; raportul giromagnetic de spin se dovedește a fi de două ori mai mare: . Într-un câmp magnetic extern de putere , momentul magnetic are o energie potențială , a cărei adăugare la Hamiltonianul H a unui electron într-un câmp electron-magnetic extern cu potențiale și A conduce la ecuația Pauli: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\peste 2mc}$ $g={e\peste mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H)}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\dreapta]\psi

unde este operatorul de impuls, este operatorul de unitate și este proporțional cu operatorul de spin: . ${\hat p}$ ${\ce eu}$ ${\hat \sigma}$ ${\hat s}={\hbar \over 2}{\hat \sigma }$

Propusă inițial pe baza unor considerații euristice, ecuația Pauli s-a dovedit a fi o consecință firească a ecuației Dirac relativistic invariante în aproximarea slab relativistă, în care sunt luați doar primii termeni ai expansiunii în puteri reciproce a vitezei luminii. în considerare. Dacă puterea câmpului magnetic extern nu depinde de coordonatele spațiale, atunci mișcarea orbitală a particulei și schimbarea orientării spinului acesteia au loc independent. În acest caz, funcția de undă are forma , unde este o funcție scalară care respectă ecuația Schrödinger, iar spinorul satisface ecuația $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)})\chi .

Din această ecuație rezultă că valoarea medie a spinului precedă în jurul direcției câmpului magnetic: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Aici , este frecvența ciclotronului și este vectorul unitar de-a lungul câmpului magnetic. Pe baza ecuației Pauli, împărțirea nivelurilor de electroni dintr-un atom într-un câmp magnetic extern poate fi calculată ținând cont de spin ( efectul Zeeman ). Cu toate acestea, efectele relativiste mai fine în atomi datorate spinului electronului pot fi descrise doar luând în considerare termenii mai mari ai expansiunii ecuației relativiste Dirac în puteri reciproce ale vitezei luminii. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Literatură

Blokhintsev D. I. Fundamentele mecanicii cuantice. - a 5-a ed. - M .: Nauka, 1976. - 664 p., paragraful 62.
Davydov A. S. Mecanica cuantică. - Ed. a II-a. - M .: Nauka, 1973. - 704 p., paragraful 63.
Pauli V. Principii generale ale mecanicii ondulatorii. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 p.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Electrodinamică cuantică. - Ediția a IV-a, revizuită. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov. Ed. numara D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov și colab. - M.: Great Russian Encyclopedia, 1992. - V. 3. Magnetoplasmic - Teorema Poynting. — 672 p.

Ecuația lui Pauli

Literatură

Vezi și