Ecuația lui Fisher (matematică)

Ecuația lui Fisher ( cunoscută și sub numele de ecuația Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov , ecuația KPP sau ecuația Fisher-KPP ) este o ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul doi:

{\frac {\partial w}{\partial t))={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+aw(1-w).

Istorie

Ecuația este numită după statisticianul și biologul Ronald Aylmer Fisher , care a propus-o în 1937 în contextul dinamicii populației pentru a descrie distribuția spațială a alelelor avantajoase și a găsit soluția sa de val de călătorie . [unu]

Aplicație

Ecuația lui Fisher se găsește în probleme de transfer de căldură și masă, teoria arderii , biologie și ecologie , în fizica plasmei și probleme în teoria tranzițiilor de fază . Acesta descrie, de exemplu, transferul de masă într-un amestec imobil cu două componente în prezența unei reacții chimice volumetrice de ordinul întâi. Funcția cinetică modelează și transformarea lanțului autocatalitic în teoria arderii. [2] $f(w)=aw(1-w)$

Hotărâri

Pentru viteza undei, ecuația admite soluții sub formă de undă care călătorește , și . Forma soluțiilor este unică pentru fiecare lungime de undă. Nu există astfel de soluții. [unu] $c\geq 2{\sqrt {a}}$ $w(x,t)=w(x\pmct)=w(z)$ $\lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1$ $c<2{\sqrt {a)}$

În cazul vitezei , se pot obține următoarele soluții exacte: $c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6}}}$

w(z)=\left[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},

w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6)}})}{\left[1+C\exp(\mp {\ frac {z}{\sqrt {6}}}})\right]^{2}}},

unde este o constantă arbitrară. [2] $C$

Note

↑ 1 2 R. A. Fisher. Valul de avans al genelor avantajoase Arhivat 15 decembrie 2018 la Wayback Machine , Ann. Eugenics 7 :353-369, 1937
↑ 1 2 * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Manual de ecuații neliniare de fizică matematică. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 11. - 432 p.