Ecuații Peterson-Codazzi

Ecuațiile Peterson-Mainardi-Codazzi sunt ecuații care, împreună cu ecuația lui Gauss , constituie condițiile necesare și suficiente pentru integrabilitatea sistemului, la care se reduce problema recuperării unei suprafețe din prima și a doua formă pătratică a acesteia .

Ecuații

Ecuațiile Peterson-Mainardi-Codazzi au forma

{\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2} b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{ 2}b_{21}

unde sunt coeficienții formei a doua pătratice, sunt simboluri Christoffel . $b_{{ij}}$ $\Gamma _{jk}^{i)$

Proprietăți

teorema lui Bonnet. Dacă și , sunt două forme pătratice netede în domeniul care satisfac ecuațiile Peterson–Codazzi, atunci există și o suprafață unică (până la mișcări) în care aceste forme sunt prima și a doua formă pătratică. $g=g_{ij}$ $b=b_{ij)$ $i,j\in \{1,2\)$ $U$ $\mathbb {R} ^{3}$
- Această teoremă a fost demonstrată și de Peterson în disertația sa.

Istorie

Ecuațiile au fost găsite pentru prima dată de Peterson [1] în 1853, redescoperite de Mainardi [2] și Codazzi (1867) [3] .

Note

↑ Peterson, KM „Über die Biegung der Flächen”. Dorpat. candidatenschrift. 1853.
↑ Mainardi, G. „Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio”. Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
↑ Codazzi, D. „Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio”. Ann. matematica. pura aplicata 2, 101-19, 1868-1869.

Literatură

Rashevsky P.K., Curs de geometrie diferențială , M., 1956.
Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .