Ecuațiile lui Chaplygin

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 mai 2015; verificările necesită 4 modificări .

Ecuațiile lui Chaplygin sunt ecuațiile dinamicii unui sistem nonholonomic . Obținut de S. A. Chaplygin în 1895 [1] . Acestea permit simplificarea ecuațiilor de dinamică ale sistemelor nonholonomice prin excluderea conexiunilor din ecuațiile de dinamică și reducerea numărului de ecuații integrabile cu numărul de conexiuni [2] .

Formulare

Considerăm un sistem nonholonomic cu grade de libertate și constrângeri nonholonomice [3] . Să notăm energia cinetică a sistemului , energia potențială . Viteze generalizate ale coordonatelor dependente , unde . Să notăm energia cinetică a sistemului după eliminarea vitezelor dependente . $s$ $d$ $T$ $\Pi$ $\dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{sd}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k}$ $k=s-d+1, ..., s$ $T^{{*}}$ $\dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ... , \dot{q}_{s}$

Ecuațiile de dinamică ale unui sistem nonholonomic au forma [2]

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T^{*}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\ frac {\partial T^{*}}{\partial q_{m}}}+\sum _{k=s-d+1}^{s}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q))_{k))}\sum _{r=1}^{sd}\left({\frac {\partial h_{kr)){\partial q_{m))}-{\frac { \partial h_{km}}{\partial q_{r}}}\right){\dot {q}}_{r}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}} ,

unde În aceste ecuații, este posibil să se elimine vitezele coordonatelor dependente folosind ecuații și să se obțină astfel ecuații cu necunoscute , care sunt integrate independent de ecuațiile constrângerilor nonholomice [2] . $m=1,2,...,sd.$ $\dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ..., \dot{q}_{s}$ $\dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{sd}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k}$ $sd$ $sd$ $q_{1}, q_{2}, ..., q_{sd}$

Note

↑ Chaplygin S. A. Cercetări privind dinamica sistemelor nonholonomice - Gostekhizdat - 1949
↑ 1 2 3 Butenin, 1971 , p. 199.
↑ Butenin, 1971 , p. 197.

Literatură

Butenin NV Introducere în mecanica analitică. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.