Figurile Lissajous

Figurile Lissajous  sunt traiectorii trasate de un punct care efectuează simultan două oscilații armonice în două direcții reciproc perpendiculare.

Studiat pentru prima dată de omul de știință francez Jules Antoine Lissajous .

Descriere

Forma figurilor depinde de relația dintre perioadele ( frecvențele ), fazele și amplitudinile ambelor oscilații. În cel mai simplu caz de egalitate a ambelor perioade, cifrele sunt elipse, care, cu o diferență de fază de 0 sau degenerează în segmente de linie, și cu o diferență de fază și egalitate de amplitudini, se transformă într-un cerc.

Dacă perioadele ambelor oscilații sunt apropiate, atunci diferența de fază se modifică liniar, în urma căreia elipsa observată este deformată tot timpul. Acest fenomen este folosit în electronică pentru a compara frecvențele și pentru a ajusta o frecvență la a doua - frecvența de referință.

Cu perioade de oscilații care diferă de multe ori ca mărime, figurile Lissajous sunt o imagine confuză și nu sunt observate, de exemplu, pe un ecran de osciloscop - în acest caz, se observă un dreptunghi luminos.

Dacă raportul perioadelor este un număr rațional , atunci după o perioadă de timp egală cu cel mai mic multiplu al ambelor perioade, punctul în mișcare revine din nou la poziția inițială, iar vectorul viteză al punctului coincide cu cel inițial , rezultând în traiectorii închise. Dacă raportul perioadelor este un număr irațional , atunci sunt generate traiectorii neînchise.

Figurile Lissajous sunt înscrise într-un dreptunghi al cărui centru coincide cu originea , iar laturile sunt paralele cu axele de coordonate și situate pe ambele părți ale acestora la distanțe egale cu amplitudinile oscilațiilor.

Expresie matematică pentru curba Lissajous

Dependența coordonatelor x și y de timpul t este descrisă de sistem

unde A , B  sunt amplitudini de oscilație, a , b  sunt frecvențe, δ  este defazare.

Forma curbei depinde puternic de raportul a / b . Când raportul este 1, figura Lissajous arată ca o elipsă, în anumite condiții arată ca un cerc ( A = B , δ = π /2 radiani ) și un segment de linie dreaptă ( δ = 0).

Un alt exemplu de figură Lissajous este o parabolă ( b / a = 2, δ = π / 4). Cu alte rapoarte, cifrele Lissajous sunt cifre mai complexe care sunt închise cu condiția ca a / b să  fie un număr rațional .

Cifrele Lissajous, unde a = 1, b = N ( N  este un număr natural ) și

sunt polinoame Chebyshev de primul fel de grad N (vezi definiția lor trigonometrică ).

Exemple

Animația arată schimbarea curbelor la δ = 0 și un raport a / b în continuă creștere de la 0 la 1 în pași de 0,01:

Exemple de figuri Lissajous cu δ = π /2, un număr natural impar a și, de asemenea, un număr natural b și | a − b | = 1:

Aplicații de inginerie - comparații de frecvență

Dacă semnalele de frecvențe apropiate sunt aplicate la intrările "X" și "Y" ale osciloscopului , atunci cifrele Lissajous pot fi văzute pe ecran. Această metodă este utilizată pe scară largă pentru a compara frecvențele a două surse de semnal și pentru a regla o sursă la frecvența alteia. Când frecvențele sunt apropiate, dar nu egale între ele, cifra de pe ecran se rotește, iar perioada ciclului de rotație este inversul diferenței de frecvență, de exemplu, cu o perioadă de rotație de 2 secunde, diferența de frecvențe de semnalele este de 0,5 Hz. Dacă frecvențele sunt egale, figura îngheață nemișcată, în orice fază, totuși, în practică, din cauza instabilităților semnalului pe termen scurt, figura de pe ecranul osciloscopului tremură de obicei puțin. Puteți utiliza pentru comparație nu numai aceleași frecvențe, ci și pe cele într-un raport multiplu, de exemplu, dacă sursa exemplară poate produce o frecvență de numai 5 MHz, iar sursa reglabilă - 2,5 MHz.

Vezi și

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice