Formula Taylor-Peano

Formula Taylor - Peano Fie , punctul limită al mulțimii și . Dacă funcția este diferențiabilă în punctul , atunci formula Taylor-Peano este valabilă pentru toate $f:{\mathbb C}\la {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\în D_{f}$ $f$ $n$ $z_{0}$ $z\în D_{f}$

f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(unu)

unde ε n (z) este o funcție continuă în punctul z 0 și ε n ( z 0 ) = 0. Aplicăm metoda inducției matematice . Dacă n = 0, atunci afirmația este evidentă pentru ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ). Să presupunem că afirmația teoremei este valabilă după înlocuirea lui n cu n − 1 și că funcția f este de n ori diferențiabilă în sensul lui Fermat-Lagrange în punctul z 0. Conform definiției, există o funcție derivabilă Fermat-Lagrange φ n − 1 în punctul z 0 astfel încât ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

Prin presupunere

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

unde este o funcție continuă în punctul z 0 și . Din egalitățile (2) și (3) obținem: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\dreapta)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ n},$

care este echivalentă cu formula (1) pentru . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Literatură

A.K.Boyarchuk „Funcțiile unei variabile complexe: teorie și practică” Carte de referință despre matematica superioară. T.4 M.: Editorial URSS, 2001. - 352p.