Formula de monotonitate

Formula monotonității este teorema clasică a suprafeței minime . Ea afirmă în special că aria de intersecție a unei suprafețe minime fără graniță cu o minge centrată pe suprafață nu poate fi mai mică decât aria unui cerc de aceeași rază.

Formulare

Să presupunem că există o suprafață minimă -dimensională în spațiul euclidian și . Notați cu distanța minimă de la graniță . $M$ $k$ $p\în M$ $R$ $p$ $M$

Apoi funcția

r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m)))

creste monoton in interval ; aici denotă aria -dimensională și este bila cu raza centrată pe . $[0,R]$ $\mathrm{S}$ $k$ $B_{r}(p)$ $r$ $p$

Consecințele

Pentru , și cum este satisfăcută inegalitatea în formulare $M$ $p$ $R$ $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

la ; aici se desemnează volumul bilei unitare în spațiul euclidian -dimensional.

r\leq R

\omega_{k}

k

Mai mult, dacă este un punct de auto-intersecție atunci $p$

\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},

la .

r\leq R

Aplicații

Ecolm și White au folosit formula monotonității pentru a demonstra că suprafața minimă acoperită de un contur cu o variație de rotație de 4π sau mai mică este imbricată.
Brende și Hung au aplicat o formulă de monotonitate generalizată pentru a estima aria de intersecție a unei suprafețe minime cu o minge al cărei centru este în afara suprafeței.

Literatură

S. Brandle, PK Hung. Limitele zonei pentru suprafețe minime care trec printr-un punct prescris într-o minge // arXiv:1607.04631 [math.DG].

Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Înglobarea suprafețelor minime cu curbură totală la limită cel mult 4π // Ann . Matematică.. - 2002. - P. 209–234 .