Natura reprezentării grupului

Natura reprezentării grupului este o funcție pe grup care returnează urma (suma elementelor diagonale) a matricei corespunzătoare elementului dat din reprezentarea [1] [2] .

Notat de obicei prin litera [3] .

Teoria caracterelor se ocupă cu studiul reprezentărilor prin caracterele lor .

Definiție

Dacă este o reprezentare cu dimensiuni finite a grupului , atunci natura acestei reprezentări este o funcție de la mulțimea numerelor complexe, dată de urma unei transformări liniare corespunzătoare elementului . În general, o urmă nu este un homomorfism, iar mulțimea de urme nu formează un grup.

Proprietăți

• Caracterele reprezentărilor echivalente coincid [2] .
• Reprezentările izomorfe au aceleași caractere [4] .
• Caracterele reprezentărilor neizomorfe ireductibile ale unui grup finit formează un sistem ortonormal de funcții [2] [5] .
• Pătratul scalar al caracterului unei reprezentări ireductibile este egal cu unu [2] .
• Caracterul unei reprezentări reductibile este egal cu suma caracterelor tuturor reprezentărilor ireductibile care apar în ea [2] [4] .
• Două reprezentări având aceleași caractere sunt echivalente [2] [6] .
• Dacă reprezentarea este reductibilă, atunci pătratul scalar al caracterului său este mai mare decât unu [7] .
• Elementele conjugate reciproc au grupuri și caractere egale [7] .
• Setul de caractere al tuturor reprezentărilor ireductibile este complet în spațiul liniar al funcțiilor definite pe clasele elementelor conjugate [7] .
• Pentru orice element al grupului [8] .
• Pentru ca o reprezentare să fie ireductibilă, este necesar și suficient ca pătratul scalar al caracterului ei să fie egal cu [9] .

Note

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , p. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , p. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , p. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , p. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , p. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , p. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , p. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , p. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , p. 372.

Literatură

• Lyubarsky G. Ya. Teoria grupurilor și aplicarea acesteia în fizică. — M .: Nauka, 1958. — 354 p.
• Van der Waerden BL Metoda teoriei grupurilor în mecanica cuantică. — M. : Editorial URSS, 2004. — 200 p.
• Golovina L. I. Algebra liniară și unele dintre aplicațiile sale. — M .: Nauka, 1975. — 407 p.