Centrul Spieker

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 aprilie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Centrul Spieker
Centrul lui Spieker este incentrul triunghiului medial
coordonate baricentrice	$b+c:a+c:a+b$
Coordonate triliniare	${\frac {b+c}{a}}:{\frac {a+c}{b}}:{\frac {a+b}{c}}$
cod ECT	X(10)
Puncte conectate
Anticomplementare	centrul cercului înscris

Centrul lui Spieker este un punct remarcabil al unui triunghi , definit ca centrul de masă al perimetrului triunghiului ; adică centrul de greutate al unui fir omogen care trece de-a lungul perimetrului triunghiului [1] [2] .

Punctul este numit după geometrul german din secolul al XIX-lea Theodor Spieker [3] . În Encyclopedia of Triangle Centers a lui Clark , Kimberling este listat ca X(10) [4] .

Proprietăți

Centrul lui Spieker este incentrul triunghiului median [1] . Adică centrul lui Spieker este centrul unui cerc înscris în triunghiul mijlociu (în triunghiul său complementar ) [5] . Acest cerc este cunoscut sub numele de cercul lui Spieker . $\triunghi ABC$ $\triunghi ABC$

Centrul lui Spieker este centrul triunghiului brațului [1] . Adică, toate cele trei brațe ale triunghiului se intersectează într-un punct - în centrul lui Spiker . ( Brațul unui triunghi este un segment de linie cu un capăt în mijlocul uneia dintre laturile triunghiului, celălalt capăt pe una dintre cele două laturi rămase, iar brațul traversează perimetrul.) $\triunghi ABC$ $S$

Centrul lui Spieker , incentrul ( ), centroidul ( ) și punctul Nagel ( ) al triunghiului se află pe aceeași linie dreaptă - pe a doua linie Euler (linia Euler-Nagel) . Mai mult [6] , $eu$ $G$ $M$

\left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.

Centrul lui Spieker se află pe hiperbola Kiepert a triunghiului.

Centrul lui Spieker este punctul de intersecție al dreptelor , și , unde , și sunt asemănătoare, isoscele și egal situate, construite pe laturile exterioare ale triunghiului, având același unghi la bază [7] . $\triunghi ABC$ $AX$ $BY$ $CZ$ $\triunghi XBC$ $\triunghi YCA$ $\triunghi ZAB$ $\triunghi ABC$ $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\ ;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$
- Această proprietate este valabilă nu numai pentru centrul lui Spieker. De exemplu, primul punct Napoleon , ca și centrul lui Spieker, este punctul de intersecție al liniilor , și , unde , și sunt similare, isoscel și egal situate, construite pe laturile triunghiului în exterior, având același unghi la bază . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $\triunghi XBC$ $\triunghi YCA$ $\triunghi ZAB$ $\triunghi ABC$ $30^{\circ )$

Centrul Spieker este centrul radical al celor trei excercuri [8] .
coordonatele triliniare ale punctului [4] : . $S$ $(bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))$

Coordonatele baricentrice ale centrului lui Spieker [4] : $(b+c,c+a,a+b)$ .

Note

↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , p. 3–4.
↑ Kimberling, Centrul Clark Spieker . Preluat: 5 mai 2012. (nedefinit)
↑ Spieker, 1888 .
↑ 1 2 3 Kimberling, Clark Enciclopedia Centrelor Triunghiulare . Consultat la 5 mai 2012. Arhivat din original la 24 noiembrie 2015. (nedefinit)
↑ Triunghiul medial al unui dat se numește triunghi complementar al triunghiului ABC. $\triunghi ABC$
↑ A. Bogomolny Nagel Line din Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Preluat: 5 mai 2012. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Kiepert Hyperbola pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Odenhal, 2010 , p. 35–40.

Literatură

Boris Odenhal. Unele centre de triunghi asociate cu cercurile tangente la excercurile // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 .
Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germania, 1888.
Ross Honsberger. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . - Asociația de matematică din America , 1995.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex