Alternanta Cebyshev

Alternanță Chebyshev (sau pur și simplu alternanță ) (din franceză alternanță - „alternanță”) - în matematică, un astfel de set de puncte , în care o funcție continuă a unei variabile își ia secvențial valoarea maximă în valoare absolută, în timp ce semnele funcției la aceste puncte se alternează. $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$ $g(x)$ $g(x_{1}),$ $g(x_{2}),...,$ $g(x_{N})$

O astfel de construcție a fost întâlnită pentru prima dată în teorema privind caracterizarea celui mai bun polinom de aproximare, descoperită de P. L. Cebyshev în secolul al XIX-lea. Termenul de alternanță în sine a fost introdus de I.P. Natanson în anii 1950.

Teorema alternantei lui Cebyshev

Pentru ca un polinom de grad să fie un polinom cu cea mai bună aproximare uniformă a unei funcții continue , este necesar și suficient să existe în cel puțin puncte astfel încât $Q_{n}(x)$ $n$ $f(x)$ $[a,b]$ $n+2$ $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||

unde simultan pentru toti . $i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1$ $i$

Punctele care îndeplinesc condițiile teoremei se numesc puncte ale alternanței Cebyșev. $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

Un exemplu de aproximare a funcției

Să presupunem că este necesar să se aproximeze funcția rădăcină pătrată folosind o funcție liniară (polinom de gradul I) pe intervalul (1, 64). Din condițiile teoremei, trebuie să găsim (în cazul în cauză - 3) puncte ale alternanței Chebyshev. Prin urmare, datorită convexității diferenței dintre o rădăcină pătrată și o funcție liniară, astfel de puncte sunt singurul punct extremum al acestei diferențe și capetele intervalului pe care este aproximată funcția. Să notăm . - punctul extremum. Atunci sunt valabile următoarele ecuații: $n+2$ $a=1,b=64$ $d$

${\sqrt 1}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 1)=\alpha L$

${\sqrt d}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times d)=-\alpha L$

${\sqrt {64}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 64)=\alpha L$

Iată diferențele dintre valorile funcției și ale polinomului. Scăzând prima ecuație din a treia, obținem asta $\alpha L$

$\alpha _{1}={\frac {1}{9}}=0,(1)$

Deoarece este punctul extrem, iar funcția liniară și funcția rădăcină pătrată sunt continue și diferențiabile, valoarea poate fi determinată din următoarea ecuație: $d$ $d$

$({\sqrt x})'(d)-\alpha _{1}=0$

De aici $d=20{\frac {1}{4}}=20,25$

Acum putem calcula $\alpha _{0}$

$\alpha _{0}={\frac {113}{72}}=1.569(4)$

Prin urmare, cea mai bună aproximare liniară a funcției pe intervalul de la 1 la 64 este: ${\sqrt {x}}$

${\frac {1}{9}}x+{\frac {113}{72}}$ .

Vezi și

Literatură

Bakhvalov, N. S .; Jidkov, N. P.; Kobelkov, G. N. Metode numerice
Ulyanov, M. V. Algoritmi informatici eficienti din punct de vedere al resurselor.

Link -uri

Prelegeri de A. M. Matsokin