Numerele Bernoulli

Numătorii și numitorii fracției de numere Bernoulli alcătuiesc șirul A027641 în OEIS și , respectiv, șirul A027642 în OEIS ;

B_{0}=1

B_{1}=-{\frac {1}{2)}

B_{2}={\frac {1}{6}}

B_{3}=0

B_{4}=-{\frac {1}{30)}

B_{5}=0

B_{6}={\frac {1}{42}}

B_{7}=0

B_{8}=-{\frac {1}{30)}

B_{9}=0

B_{10}={\frac {5}{66}}

B_{11}=0

B_{12}=-{\frac {691}{2730}}

B_{13}=0

B_{14}={\frac {7}{6}}

B_{15}=0

B_{16}=-{\frac {3617}{510}}

B_{17}=0

B_{18}={\frac {43867}{798}}

B_{19}=0

B_{20}=-{\frac {174611}{330}}

B_{22}={\frac {854513}{138}}

B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}

B_{26}={\frac {8553103}{6}}

B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}

B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}

B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}

B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}

B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}

B_{38}={\frac {2929993913841559}{6}}

B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}

B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}

B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}

B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}

B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}

B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}

Numerele Bernoulli sunt o succesiune de numere raționale , luate în considerare pentru prima dată de Jacob Bernoulli în legătură cu calculul sumei numerelor naturale consecutive ridicate la aceeași putere : $B_{0},B_{1},B_{2},\puncte$

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

unde este coeficientul binom . ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!)}}$

Unii autori dau alte definiții, dar majoritatea manualelor moderne dau aceeași definiție ca și aici. In acelasi timp . Unii autori (de exemplu, cartea în trei volume a lui Fichtenholtz ) folosesc o definiție care diferă de aceasta doar în semnul . De asemenea, deoarece toate numerele Bernoulli impare sunt 0 , cu excepția , unii autori folosesc notația „ ” pentru sau . $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$ $B_{k}$ $B_1$ $B_{n}$ $B_{2n}$ $|B_{2n}|$

Formula recurentă

Pentru numerele Bernoulli, există următoarea formulă recursivă :

B_{0}=1,

B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{nk },\quad n\in \mathbb {N} .

Proprietăți

Toate numerele Bernoulli impare, cu excepția , sunt egale cu zero, iar semnele numerelor pare Bernoulli alternează. $B_1$
Numerele Bernoulli sunt valorile polinoamelor Bernoulli pentru : $B_{n}(x)$ $x=0$

B_{n}=B_{n}(0).

Numerele Bernoulli sunt adesea incluse în coeficienții de extindere a seriei de puteri ale funcțiilor elementare . De exemplu:
- Funcția de generare exponențială pentru numerele Bernoulli: ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!)}}x^ { n},|x|<2\pi ,$ $x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n) !}}x^{2n},|x|<\pi ,$ $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{( 2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$
Euler a stabilit o legătură între numerele Bernoulli și valorile funcției zeta Riemann ζ( s ) pentru s = 2 k par : $B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k))}.$

Precum și

B_{n}=-n\zeta (1-n)

pentru toate numerele naturale n > 1.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1 }{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$
Ordinea de creștere a numerelor Bernoulli este dată de următoarea formulă asimptotică: $|B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n)})$ cu chiar . Din formula scrisă mai sus rezultă că această asimptotică este echivalentă cu egalitatea: . $n\la\infty$ $\lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{de}}\;k\in \mathbb {Z}$

Literatură

Numerele Bernoulli // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Abramovici V. Bernoulli numere // Kvant . - 1974. - Nr 6 . - S. 10-14 .

Link -uri

Generatorul de numere Bernoulli