Cifrele Leonardo

Numerele Leonardo sunt o succesiune de numere date de o dependență:

L(n):={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n -2)+1&{\text{dacă }}n>1.\\\end{cases}}

Edsger Dijkstra [1] le-a folosit ca parte a algoritmului său de sortare uniformă și a studiat unele dintre caracteristicile lor. [2]

Relația cu numerele Fibonacci

Numerele Leonardo sunt legate de numerele Fibonacci printr-o formulă . $L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$

Această formulă implică în mod direct o expresie pentru numerele Leonardo, similară cu formula lui Binet pentru numerele Fibonacci:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )))-1= {\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

unde este raportul de aur și în plus și sunt rădăcinile ecuației pătratice $\varphi =(1+{\sqrt 5})/2$ $\varphi$ $1-\varphi =(1-{\sqrt 5})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

Primii douăzeci de termeni ai secvenței de numere Leonardo sunt:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 — secvența A001595 în OEIS

raportul dintre numerele Leonardo învecinate, precum și numerele Fibonacci învecinate, tinde către raportul de aur

Note

↑ EWD797
↑ EWD796a