Distributie ergodica

Definiție

Fie un lanț Markov omogen cu timp discret și un număr numărabil de stări. Denota $\{X_{n}\}_{n\geq 0)$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

probabilități de tranziție pe trepte. Dacă există o distribuție discretă astfel încât și $n$ $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

atunci se numeste distributie ergodica , iar lantul in sine se numeste ergodic .

Teorema de baza asupra distributiilor ergodice

Fie un lanț Markov cu un spațiu de stări discret și o matrice de probabilități de tranziție . Atunci acest lanț este ergodic dacă și numai dacă $\{X_{n}\}_{n\geq 0)$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

Distribuția ergodică este atunci singura soluție pentru sistem: $\mathbf {\pi }$

\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Vezi și

Distribuție staționară .

Clasificarea stărilor și lanțurile Markov
Stat	aperiodic returnabil realizabil irevocabil nesemnificativ zero periodic pozitiv comunicând semnificativ
Lanţ	aperiodic returnabil irevocabil necompusa zero periodic pozitiv descompunebil ergodic