Sistem autonom de ecuații diferențiale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 20 ianuarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Sistem autonom de ecuații diferențiale (o altă denumire: sistem staționar de ecuații diferențiale ) - un caz special al unui sistem de ecuații diferențiale , când argumentul sistemului nu este inclus în mod explicit în funcțiile care definesc sistemul. $t$

Un sistem autonom în forma sa normală (numit și sistem dinamic) are forma:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

sau în notație vectorială:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Reducere la formă independentă

Orice sistem de ecuații diferențiale poate fi redus la unul autonom prin introducerea unei funcții auxiliare suplimentare , înlocuirea argumentului cu aceasta acolo unde apare explicit și completarea sistemului cu încă o ecuație . O astfel de înlocuire are însă o semnificație predominant teoretică, deoarece crește dimensiunea sistemului de la la , ceea ce complică structura familiei de soluții. Există, totuși, un interes practic pentru o astfel de înlocuire. În metodele numerice pentru sisteme rigide, este convenabil să treceți la argumentul „lungimea arcului”, acest lucru se face prin următoarea relație , care, de fapt, este lungimea arcului curbei integrale în spațiul n + 1-dimensional. $x_{{n+1}}$ $t$ ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ $n$ $n+1$ $dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2)))$

Proprietăți ale sistemului autonom

Dacă este o soluție a unui sistem autonom de ecuații diferențiale (în formă vectorială), atunci această funcție rămâne o soluție chiar și atunci când argumentul este deplasat. Un sistem autonom modelează procese autonome, adică un proces care nu este supus influențelor externe, și procese staționare, adică procese care se stabilesc în timp. Toate aceste procese sunt complet determinate de valorile inițiale ale variabilelor de stare, adică și nu depind de alegerea valorii inițiale a argumentului . ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ $x_1,\dots,x_n$ $t$

Vezi și

Sistem omogen de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți
Rezolvabilitatea unică a problemei Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale liniare
Abaterea deciziilor sistemului autonom

Link -uri

V. I. Arnold. Ecuații diferențiale obișnuite.