Lungimea afină

Lungimea afină este un parametru al unei curbe plane , care este păstrat în timpul transformărilor echiafine (adică transformările afine care păstrează zona ).

Definiție

Pentru o curbă plată , lungimea afină este calculată prin formula $\gamma \colon [a,b]\la \mathbb {R} ^{2}$

l=\int \limits _{a}^{b}|{\dot {\gamma }}(t)\times {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt ,

unde denotă produsul încrucișat , și și sunt prima și a doua derivată. $\times$ ${\dot {\gamma }}(t)$ ${\ddot \gamma }(t)$

Cazuri speciale

Lungimea afină a unui grafic al funcției este dată de $y=f(x)$ $f$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,$
Pentru o curbă cu parametru natural și curbură $\gamma (s)$ $\varkappa(s)$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.$

Proprietăți

Lungimea arcului afin a unei parabole este în cazul în care S este aria triunghiului format de coarda arcului și tangentele la parabolă de la capetele arcului. $2{\sqrt[{3}]{S)),$
Printre curbele convexe închise cu o lungime afină fixă, elipsele (și numai ele) delimitează cea mai mică zonă.

Variații și generalizări

Există, de asemenea, generalizări ale lungimii afine la cazul curbelor spațiale și la grupul afin general, precum și la celelalte subgrupe ale acestuia.

Literatură

L. Feyesh Tot, Aranjamente pe un plan, pe o sferă și în spațiu , M., Fizmatlit, 1958. - 364 p.