Convergență necondiționată

În calcul , se spune că o serie dintr- un spațiu Banach X este convergentă necondiționat dacă, pentru o permutare arbitrară , seria este convergentă. $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)))$

Proprietăți

Dacă seria este convergentă necondiționat, atunci există un element unic, astfel încât pentru o permutare arbitrară $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $x\în X,$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)}}=x,$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N} .$
O serie absolut convergentă arbitrară este convergentă necondiționat, dar inversul nu este adevărat. Totuși, când X = R n , atunci datorită teoremei lui Riemann , seria este convergentă necondiționat dacă și numai dacă este absolut convergentă. $\sum x_{n}$
Dacă este o succesiune de elemente din spațiul Hilbert H , atunci convergența necondiționată a seriei implică $\{x_n\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Definiții echivalente

Se pot da mai multe definiții echivalente ale convergenței necondiționate: o serie este convergentă necondiționat dacă și numai dacă:

pentru o secvență arbitrară , unde , seria este convergentă. $(\varepsilon _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$
pentru o secvență arbitrară , astfel încât , seria este convergentă. $(\alpha _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$
pentru o succesiune arbitrară , seria este convergentă. $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{k_{n}}}$
pentru un arbitrar există o submulțime finită astfel încât pentru o submulțime finită arbitrară $\varepsilon >0$ $I\subset \mathbb{N} ,$ $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\varepsilon$ $J\subset \mathbb{N} \setminus I$

Exemplu

Să fie dat spațiul $l^{p}\,,$ unde este spațiul Banach al secvențelor numerice cu norma . Luați în considerare o secvență în care o valoare diferită de zero se află pe locul al n -lea . Atunci seria este necondiționat convergentă, dar nu absolut convergentă. $1<p<\infty$ $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{{\ frac {1}{p}}}}$ $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n)),0,\ldots ),$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$

Vezi și

Link -uri

Popov Mihail. Geometria spațiilor Banach (link inaccesibil)
Christopher Heil. O teorie de bază
Convergență necondiționată la PlanetMath .

Literatură

Banakh S.S., Curs de analiză funcțională (operații liniare) (link inaccesibil) , K .: Radyanska Shkola, 1948.
Knopp, Konrad (1956). Secvențe și serii infinite. Dover Publications. ISBN 978-0486601533 .
Knopp, Konrad (1990). Teoria și aplicarea seriilor infinite. Dover Publications. ISBN 978-0486661650 .
P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces pentru analiști. Cambridge University Press. ISBN 978-0521566759 .