Limită de secvență parțială

Limita parțială a unei secvențe este limita uneia dintre subsecvențele sale, dacă aceasta există. Pentru secvențele numerice convergente, limita parțială coincide cu limita obișnuită datorită unicității acesteia din urmă, dar în cel mai general caz, o secvență arbitrară poate avea de la zero la un număr infinit de limite parțiale diferite. Mai mult decât atât, dacă limita obișnuită caracterizează punctul până la care elementele șirului se apropie cu număr crescător, atunci limitele parțiale caracterizează punctele în apropierea cărora există infinit de elemente ale șirului.

Două cazuri speciale importante ale limitei parțiale sunt limitele superioare și inferioare.

Definiții

Limita parțială a unei secvențe este limita oricăreia dintre subsecvențele sale , dacă există cel puțin o subsecvență care are o limită. În caz contrar, se spune că secvența nu are limite parțiale. În unele literaturi, în cazurile în care este posibil să se selecteze o subsecvență infinit de mare dintr-o secvență, ale cărei elemente sunt simultan pozitive sau negative, limita sa parțială se numește, respectiv , sau . $+\infty$ $-\infty$

Limita inferioară a unei secvențe este cea mai mică infimă a setului de limite parțiale ale secvenței.

Limita superioară a unei secvențe este cea mai mică limită superioară a setului de limite parțiale ale secvenței.

Uneori, limita inferioară a unei secvențe este cea mai mică dintre punctele sale limită , iar limita superioară este cea mai mare. [1] Aceste definiții sunt echivalente, deoarece fața exactă a mulțimii de puncte limită aparține în mod necesar acestei mulțimi.

Notație

Limita inferioară a secvenței : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (în literatura internă);

$\liminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (în literatura străină).

Limita superioară a secvenței : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (în literatura internă);

$\limsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (în literatura străină).

Exemple

$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n \to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{{n\la \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nexistă \varlimsup _{{n\to \infty }}n,\nexistă \varlimsup _{{n\to \infty }}n$ (în altă terminologie, ambele limite sunt egale ) $+\infty$

Proprietăți

O limită parțială a unei secvențe poate fi doar punctul său limită și, dimpotrivă, orice punct limită al unei secvențe este o parte din limita sa parțială. Cu alte cuvinte, conceptele „limită parțială a unei secvențe” și „punct limită al unei secvențe” sunt echivalente cu [a] .
Orice succesiune mărginită are atât limite superioare, cât și inferioare (în mulțimea numerelor reale ). Dacă luăm în considerare și valorile admisibile ale limitei parțiale, atunci limitele superioare și inferioare există în general pentru orice succesiune numerică. $-\infty$ $+\infty$
O secvență numerică converge către dacă și numai dacă . $\{x_n\}$ $A$ $\varliminf _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=\varlimsup _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=a$
Pentru orice număr pozitiv luat în avans, toate elementele succesiunii numerice limitate , începând de la un număr în funcție de , se află în intervalul . $\varepsilon$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Dacă numai un număr finit de elemente dintr-o succesiune numerică limitată se află în afara intervalului , atunci intervalul este conținut în interval . $\left(a,b\dreapta)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\dreapta)$
Setul de limite parțiale este închis.

Note

Comentarii

↑ Trebuie amintit că un element care apare într-o secvență de un număr infinit de ori este un punct limită al acestei secvențe (spre deosebire de un punct limită al unei mulțimi).

Surse

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .