Urmare

În matematică , o secvență este un set numerotat de obiecte, printre care sunt permise repetări, iar ordinea obiectelor contează. Numerotarea apare cel mai adesea cu numerele naturale . Pentru cazuri mai generale, consultați Variații și generalizări .

În acest articol, se presupune că succesiunea este infinită; cazurile unei secvenţe finite sunt specificate separat.

Exemple

Exemple de secvențe numerice:

Un exemplu de secvență finită ar fi o secvență de case de pe o stradă.
Un polinom dintr-o variabilă poate fi considerat ca o secvență finită a coeficienților săi, sau una infinită în ipoteza lui . $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n)$ $a_{i}=0$ $i>n$
Secvența de numere prime este una dintre cele mai cunoscute șiruri de numere infinite netriviale .
Fiecare număr real poate fi asociat cu propria sa secvență, numită fracție continuă - în plus, pentru numerele raționale este întotdeauna finit, pentru numerele iraționale algebrice este infinit (pentru iraționalitățile pătratice este periodic ), iar pentru numerele transcendentale este infinit și nu periodice, deși numerele individuale pot apărea în ea de un număr infinit de ori. De exemplu, fracția continuă pentru un număr este finită și este egală cu , iar fracția continuă a unui număr este deja infinită, nu periodică și arată astfel: . ${\frac {13}{9}}$ $[1;2,4]$ $\pi$ $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\puncte ]$
În geometrie , se consideră adesea o succesiune de poligoane regulate a căror formă depinde doar de numărul de vârfuri.
Secvența poate consta chiar din mulțimi - de exemplu, puteți compune o secvență în care poziția -a conține mulțimea tuturor polinoamelor de grad cu coeficienți întregi într-o variabilă. $n$ $n$

Secvență de numere

Definiție strictă

Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. $X$

Orice mapare a mulțimii de numere naturale într-o mulțime dată se numește șir [1] (de elemente ale mulțimii ). $f\colon {\mathbb {N}}\la X$ $\mathbb {N}$ $X$ $X$

Notație

Secvențe ale formei

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

Se obișnuiește să scrieți compact folosind paranteze:

(x_{n})

sau .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Bretele sunt uneori folosite:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

Secvențele de sfârșit pot fi scrise în următoarea formă:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

Secvența poate fi scrisă și ca

(f(n))

dacă funcția a fost definită anterior sau notația ei poate fi înlocuită cu funcția însăși. De exemplu, pentru , secvența poate fi scrisă ca . $f$ $f(n)=n^{3)$ $(n^{3})$

Definiții înrudite

Imaginea unui număr natural , și anume elementul , se numește --lea membru al șirului , iar numărul ordinal al membrului șirului se numește indicele acestuia . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
Submulțimea mulțimii , care este formată din elementele șirului, se numește purtătoarea șirului : în timp ce indicele trece prin mulțimea numerelor naturale, punctul „care înfățișează” membrii secvenței „se mișcă” de-a lungul purtător. $f\stânga[{\mathbb {N}}\dreapta]$ $X$
O subsecvență a unei secvențe este o secvență care depinde de , unde este o secvență crescătoare de numere naturale. O subsecvență poate fi obținută din secvența originală prin eliminarea unor membri din aceasta. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Note

Orice mapare de la un set la sine este, de asemenea, o secvență. $\mathbb {N}$
Secvența elementelor unei mulțimi poate fi considerată ca o submulțime ordonată , izomorfă cu mulțimea numerelor naturale . $X$ $X$

Modalități de specificare a secvențelor numerice

Analitic , unde formula definește secvența celui de-al n-lea termen, de exemplu: $a_{n}={\frac {n}{n+1)}$
Recurente , de exemplu , numere Fibonacci , unde orice membru al șirului este exprimat în termenii celor precedente: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
verbal ; De exemplu , pentru orice fracție zecimală infinită, puteți construi o succesiune a aproximărilor sale zecimale în termeni de deficiență sau exces, rotunjind fracția în sus sau în jos în fiecare iterație.

Secvența de acțiuni

„Un algoritm este o secvență strictă și logică de acțiuni pentru rezolvarea unei probleme (matematice, informaționale, etc.).” [3] [4]

Secvențe în matematică

În matematică , sunt luate în considerare diferite tipuri de secvențe:

secvențe numerice ;
secvențe de elemente ale unui spațiu metric ;
serii temporale atât de natură numerică cât și nenumerică;
secvenţe de elemente ale spaţiului funcţional ;
secvenţe de stări ale sistemelor de control şi automatelor .

Sarcini practic importante care apar în studiul secvențelor:

Aflarea dacă succesiunea dată este finită sau infinită. De exemplu, 51 de numere prime Mersenne sunt cunoscute pentru 2020 , dar nu s-a dovedit că nu mai există astfel de numere.
Căutați modele printre membrii secvenței.
Căutați o formulă analitică care poate servi ca o bună aproximare pentru cel de -al-lea membru al secvenței. De exemplu, pentru al - lea număr prim, o bună aproximare este dată de formula: (sunt altele mai precise). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Prezicerea stărilor viitoare, în primul rând întrebând dacă o anumită secvență converge către o limită finită sau infinită , numerică sau nenumerică , în funcție de tipul de mulțime $($ $X).$

Variații și generalizări

Membrii șirului nu trebuie să fie numerotați după numere naturale - de exemplu, șirul Fibonacci poate fi extins la numere întregi negative .
Există, de asemenea, așa-numitele secvențe multidimensionale numerotate prin elemente ale produsului cartezian . Acestea includ, de exemplu, extensia multidimensională a secvenței Thue-Morse . De asemenea , un polinom din mai multe variabile poate fi considerat ca o secvență finită, unde poziția este coeficientul produsului . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ $x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n)$ $n$ $i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n)$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Vezi și

Note

↑ Secvență // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică: Materiale de referință . - Moscova: Educație, 1988. - 416 p. (Rusă)
↑ Dicţionar explicativ / ed. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 p. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I.G. Semakin, A.P. Shestakov. Fundamentele algoritmizării și programării . - Moscova: Centrul de editare „Academia”, 2016. - S. 10. - 303 p. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Arhivat pe 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine

Literatură

Secvență // Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 242 -245. — 352 p.

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux