Principiul mișcărilor posibile

Principiul posibilelor deplasări este unul dintre principiile variaționale din mecanica teoretică , care stabilește condiția generală pentru echilibrul unui sistem mecanic . Conform acestui principiu, pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale , este necesar și suficient ca suma lucrărilor virtuale ale numai forțelor active asupra oricărei posibile deplasări a sistemului să fie egală cu zero (dacă sistemul este adus la această poziţie cu viteze zero). $A_{i}$

Numărul de ecuații de echilibru liniar independente care pot fi compilate pentru un sistem mecanic, pe baza principiului posibilelor deplasări, este egal cu numărul de grade de libertate ale acestui sistem mecanic.

Deplasările posibile ale unui sistem mecanic neliber sunt deplasări infinitezimale imaginare permise la un moment dat de constrângeri impuse sistemului (în acest caz, timpul inclus în mod explicit în ecuațiile constrângerilor nestaționare este considerat fix). Proiecțiile posibilelor deplasări pe axele de coordonate carteziene se numesc variații ale coordonatelor carteziene.

Dacă, de exemplu, constrângerile reonomice holonomice sunt impuse sistemului: $l$

f_{{\alpha }}({\vec r},t)=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Atunci posibilele deplasări sunt cele care satisfac $\Delta {\vec r}$

\sum _{{i=1}}^{{N}}{\frac {\partial f_{{\alpha }}}{\partial {\vec {r}}}}\cdot \Delta {\vec { r))+{\frac {\partial f_{{\alpha ))}{\partial t))\Delta t=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Și cele virtuale : $\delta {\vec r}$

\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {r}}})\delta {\vec {r)}=0 ,\quad \alpha ={\overline {1,l))

Deplasările virtuale, în general, nu au nimic de-a face cu procesul de mișcare a sistemului - ele sunt introduse doar pentru a releva relațiile de forțe existente în sistem și pentru a obține condiții de echilibru. Micimea deplasărilor este necesară pentru a putea considera reacțiile legăturilor ideale ca neschimbate.

Principiul deplasărilor virtuale

Conform acestui principiu: pentru echilibrul unui sistem mecanic, pe punctele cărora sunt impuse legături ideale de ținere staționară, este necesar și suficient ca suma muncii virtuale a tuturor forțelor active aplicate punctelor sistemului, pt. orice deplasare virtuală a sistemului, să fie egală cu zero [1] . Se presupune că forțele de reacție a legăturii (inactive) nu funcționează datorită postulatului idealității legăturii. Deplasările virtuale se numesc deplasări infinitezimale permise de conexiuni, cu „timp înghețat”. Adică ele diferă de posibilele deplasări doar atunci când legăturile sunt reonomice (depinde explicit de timp). Matematic, aceasta poate fi scrisă ca

\delta A=\sum _{i=1}^{n}{\textbf {F}}_{i}\cdot \delta {\textbf {r}}_{i}=0

Să considerăm două tije de lungime 2l articulate în punctul B, plasate pe un cilindru cu raza r (vezi Fig. 1). Să calculăm distanța z în funcție de coordonatele generalizate φ [2]

z=AB-OB=l\cos {\phi }-{\frac {r}{\sin {\phi ))}\,

iar munca virtuală se va obţine din variaţia δ z

\delta A=2P\delta z=2P\left(-l\sin {\phi }+{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}} \right)\delta \phi =0\,.

Această egalitate trebuie să fie valabilă pentru toate posibilele , din care obținem ecuația pentru determinarea unghiului : $\delta \phi$ $\phi$

{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}}-l\sin {\phi }=0\,.

Note

↑ Belenky, 1964 , p. 31.
↑ Belenky, 1964 , p. 35.

Literatură

Belenky I. M. Introducere în mecanica analitică. - M .: Mai sus. scoala, 1964. - 324 p.
Bukhgolts N. N. Cursul principal de mecanică teoretică. Partea 1. Ed. a 10-a. - Sankt Petersburg. : Lan, 2009. - 480 p. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică: un manual pentru universități. a 18-a ed. - M . : Școala superioară, 2010. - 416 p. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
Markeev A.P. Mecanica teoretică: un manual pentru universități. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001. - 592 p. — ISBN 5-93972-088-9 .