Grade de libertate (mecanica)

Gradele de libertate în mecanică sunt un set de coordonate independente de deplasare și/sau rotație care determină complet poziția unui sistem sau corp (și împreună cu derivatele lor în timp - vitezele corespunzătoare - determină complet starea unui sistem sau corp mecanic, adică poziţia şi mişcarea lor).

Acest concept fundamental este folosit în mecanica teoretică , teoria mecanismelor și mașinilor , inginerie mecanică , aviație și teoria aeronavelor, robotică .

Spre deosebire de coordonatele carteziene obișnuite sau de un alt tip de coordonate, astfel de coordonate sunt în general numite coordonate generalizate ( carteziane , polare sau alte coordonate specifice sunt astfel un caz special de coordonate generalizate). De fapt, vorbim despre setul minim de numere care determină complet poziția (configurația) curentă a acestui sistem.

Cerința ca această mulțime să fie minimă sau independentă de coordonate înseamnă că un set de coordonate este necesar pentru a descrie poziția sistemului numai cu posibile mișcări (de exemplu, dacă se consideră un pendul matematic , se înțelege că lungimea acestuia nu se poate schimba și, prin urmare, coordonata care caracterizează distanța de la sarcină până la punctul de suspensie nu este gradul său de libertate, deoarece nu se poate schimba - adică numărul de grade de libertate al unui pendul matematic în spațiu este 2, iar același pendul, care se poate mișca doar într-un plan, este 1. Ele corespund unghiurilor de abatere ale pendulului de la verticală) .

În cazul în care se consideră un sistem cu constrângeri (mai precis, cu restricții ), numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic este mai mic decât numărul de coordonate carteziene ale tuturor punctelor materiale ale sistemului și anume:

n=3N-n_{{link}},

unde este numărul de grade de libertate,

n

N

este numărul de puncte materiale ale sistemului,

n_{\text{link}}

- numărul de obligațiuni deținute, cu excepția celor redundante [Comm. 1] .

Numărul de grade de libertate depinde nu numai de natura sistemului real, ci și de modelul (aproximația) în cadrul căruia este studiat sistemul. Chiar și în aproximarea mecanicii clasice (în care acest articol este scris în general), dacă refuzăm să folosim aproximări ulterioare care simplifică problema, numărul de grade de libertate ale oricărui sistem macroscopic se va dovedi a fi uriaș. Deoarece legăturile nu sunt absolut rigide (adică, de fapt, pot fi considerate ca legături doar în cadrul unei anumite aproximări), numărul real de grade de libertate ale unui sistem mecanic poate fi estimat cel puțin ca un număr triplu. de atomi (și în aproximarea continuumului, ca infinit). Cu toate acestea, în practică, sunt utilizate aproximări care fac posibilă simplificarea radicală a problemei și reducerea numărului de grade de libertate atunci când se consideră un sistem; prin urmare, în calculele practice, numărul de grade de libertate este un finit, de obicei destul de mic, număr.

Astfel, aproximarea unui corp absolut rigid , care este un exemplu de legătură rigidă impusă fiecărei perechi de puncte materiale ale corpului, reduce numărul de grade de libertate ale unui corp rigid la 6. Luând în considerare sistemele formate dintr-un număr mic de corp rigid corpuri luate în considerare în această aproximare, ele au astfel un număr mic de grade de libertate, de altfel, probabil redus prin impunerea unor constrângeri suplimentare (corespunzătoare balamalei etc.) [Comm. 2] .

Numărul de grade de libertate pentru mecanisme poate fi atât constant, cât și variabil [1] .

Exemple

Un corp rigid care se deplasează în spațiul tridimensional poate avea maximum șase grade de libertate: trei de translație și trei de rotație.
Mașina, dacă este considerată un corp rigid, se deplasează de-a lungul unui plan, sau mai degrabă, de-a lungul unei anumite suprafețe bidimensionale (în spațiu bidimensional). Are două grade de libertate (unul de rotație și unul de translație).
Trenul este forțat să se deplaseze de-a lungul șinei și, prin urmare, are un singur grad de libertate.

Grade de libertate în spațiul de dimensiuni superioare

În cazul general, un corp rigid în spațiul măsurătorilor are grade de libertate ( translațional și rotațional). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2))$ $d$ ${\frac {d(d-1)}{2))$

Solide. Corpuri deformabile

Corpurile elastice sau deformabile pot fi considerate ca un sistem de multe particule cele mai mici (un număr infinit de grade de libertate), caz în care sistemul este adesea considerat aproximativ ca având un număr limitat de grade de libertate.

Dacă obiectul principal de analiză este o mișcare care provoacă deplasări mari, atunci pentru a simplifica calculele, corpul deformabil este considerat aproximativ ca un corp absolut rigid și uneori ca un punct material. De exemplu, dacă se studiază mișcarea unei părți a unui mecanism care efectuează deplasări semnificative, este posibil în aproximarea principală (și cu o bună precizie) să se considere piesa ca un corp absolut rigid (dacă este necesar, atunci când principalul mișcarea a fost deja calculată, corecțiile asociate cu micile sale deformații), în special acest lucru este adevărat dacă, de exemplu, este investigată mișcarea sateliților de-a lungul orbitei și dacă nu este luată în considerare orientarea satelitului, atunci este suficient. să-l considere ca un punct material – adică să restrângă descrierea satelitului la trei grade de libertate.

Sisteme corporale

Un sistem de mai multe corpuri poate avea în general un astfel de număr de grade de libertate, care este suma gradelor de libertate ale corpurilor care alcătuiesc sistemul, minus acele grade de libertate care sunt limitate de constrângeri interne. Un mecanism care conține mai multe corpuri conectate poate avea mai multe grade de libertate decât un corp rigid liber. În acest caz, termenul „grade de libertate” este folosit pentru a se referi la numărul de parametri necesari pentru a determina cu precizie poziția mecanismului în spațiu.

Majoritatea mecanismelor au un număr fix de grade de libertate, dar sunt posibile cazuri cu un număr variabil. Primul mecanism cu un număr variabil de grade de libertate a fost inventat de mecanicul german W. Wunderlich în 1954 (vezi Wunderlich, 1954 ) - un mecanism plat de 12 verigi și 2 balamale fixe. Un mecanism mai simplu cu 9 legături a fost inventat și descris (vezi Kovalev, 1994 ) de către matematicianul rus Mihail Kovalev [1] .

Un tip specific de mecanism este un lanț cinematic deschis , în care verigile rigide au articulații mobile capabile să ofere un grad de libertate (dacă este o articulație cu balama sau o articulație culisantă) sau două grade de libertate (dacă este o articulație cilindrică). ). Astfel de lanțuri sunt utilizate pe scară largă în mecanismele industriale moderne și în producție.

Mâna omului are 7 grade de libertate.

Un sistem mecanic care are 6 grade fizice de libertate se numește holonomic . Dacă sistemul are mai puține grade de libertate, atunci se numește nonholonomic . Un sistem mecanic cu grade de libertate mai controlate decât numărul de grade fizice de libertate este numit redundant .

Determinarea gradelor de libertate ale mecanismelor

Majoritatea mecanismelor convenționale au un grad de libertate, adică există o mișcare de intrare care determină o mișcare de ieșire. În plus, majoritatea mecanismelor sunt plate. Mecanismele spațiale sunt mai greu de calculat.

Formula Chebyshev-Grabler-Kutzbach utilizată pentru a calcula gradele de libertate ale

În cea mai simplă formă, pentru mecanismele plate, această formulă are forma:

m=3(n-1)-2f,

unde este numărul de grade de libertate;

m

n

- numărul de legături ale mecanismului (inclusiv o legătură fixă - baza);

f

- numarul de perechi cinematice cu un grad de libertate ( bucla sau conexiune glisanta ).

Într-o formă mai generală, formula Chebyshev - Grabler - Kutzbach pentru mecanisme plate care conțin conexiuni de legături mai complexe:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\f_{i},

Sau pentru un mecanism spațial (un mecanism care are o mișcare tridimensională):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\f_{i},

unde este numărul de grade de libertate;

m

n

- numărul de legături ale mecanismului (inclusiv o legătură fixă - baza);

j

- numărul total de conexiuni mobile ale legăturilor, fără a lua în considerare numărul de grade de libertate ale acestor conexiuni;

\sum _{i=1}^{j}\f_{i)

- suma tuturor gradelor de libertate a tuturor articulațiilor mobile (balamale).

Acționare hidraulică

Numărul de grade de libertate dintr-un sistem hidraulic poate fi determinat prin simpla numărare a numărului de motoare hidraulice controlate independent .

Inginerie electrică

În inginerie electrică, conceptul de „grade de libertate” este adesea folosit pentru a descrie numărul de direcții în care o antenă cu matrice în faze își poate proiecta fasciculele. Este cu unul mai puțin decât numărul de elemente conținute în zăbrele.

Principiul posibilelor deplasări

În mecanica teoretică este cunoscut principiul posibilelor deplasări , care, la fel ca ecuațiile de echilibru ale staticii, vă permite să găsiți efecte de forță externă care acționează asupra unui sistem mecanic. Numărul de ecuații compilate pe baza principiului posibilelor deplasări este egal cu numărul de grade de libertate ale unui sistem mecanic dat.

Gradele de libertate ale unei molecule

Articolul principal: Grade de libertate (fizică): Grade de libertate ale unei molecule

Formula pentru energia internă a unui gaz:

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, unde este numărul de grade de libertate ale unei molecule de gaz;

i

m

este masa gazului;

\mu

este masa molară a gazului;

R

este constanta universală a gazului ;

T

este temperatura absolută a gazului, inclusiv numărul de grade de libertate ale moleculei.

Această formulă este importantă pentru calcule, de exemplu, motoarele cu ardere internă .

Comentarii

↑ . De exemplu, dacă distanțele de la un punct dat la trei puncte ale unui corp absolut rigid sunt fixe, atunci fixarea distanțelor de la acest punct la alte puncte ale aceluiași corp rigid va fi redundantă, deoarece acestea vor fi salvate automat.
↑ . Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, ca orice model, un astfel de model impune un anumit preț real atunci când îl folosește: modelul de corp absolut rigid ignoră complet orice vibrații și propagare a undelor în corpul rigid căruia îi este aplicat. Cu toate acestea, ca de obicei, poate fi folosit ca o aproximare zero, iar corecțiile de rafinare necesare pot fi apoi calculate separat și poate că acest lucru se poate face cu mai puțină acuratețe dacă sunt mici.

Note

↑ 1 2 Studii matematice .

Literatură

Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. Proc. pentru colegii tehnice.- ed. a X-a, revăzută. si suplimentare - M .: Mai sus. shk., 1986.— 416 p., ill.
Buchholz N. N. Cursul principal de mecanică teoretică (partea întâi). Editura „Nauka”, Ediția principală de literatură fizică și matematică, M.: 1972, 468 pagini.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe : [ germană. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. Teoria geometrică a dispozitivelor cu balamale : [ arh. 5 mai 2017 ] // Izvestiya RAN. Serii matematice. - 1994. - V. 58, nr. 1. - S. 45–70. - UDC 514 + 531,8 .

Link -uri

Grade de libertate . Studii matematice . Preluat: 26 iulie 2019. (Rusă)