Soluție de vâscozitate

O soluție vâscoasă este un anumit tip de soluție slabă a unei ecuații diferențiale parțiale , sau mai degrabă o ecuație eliptică degenerată.

Definiții

Ecuație eliptică degenerată

Ecuație diferențială parțială

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

dat în domeniul , este eliptică degenerată dacă pentru oricare două matrice simetrice și astfel încât diferența lor este definită pozitivă , iar orice valoare a lui , și inegalitatea $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $Y$ $YX$ $x\in \Omega$ $u\in \mathbb {R}$ $p\in \mathbb {R} ^{n}$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Exemple

Ecuația Laplace $-\Delta u=0$ .
Orice ecuație de ordinul întâi.

Soluție vâscoasă

O funcție semicontinuă superioară definită în se numește o subsoluție de vâscozitate a acestei ecuații dacă, pentru orice punct și orice funcție netedă, cum ar fi într- o vecinătate a lui, este valabilă următoarea inegalitate: $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \geqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

În mod similar , o funcție semicontinuă inferioară definită în se numește o soluție de vâscozitate a acestei ecuații dacă, pentru orice punct și orice funcție netedă, astfel încât și într-o anumită vecinătate , este valabilă următoarea inegalitate : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \leqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

O funcție continuă este o soluție de vâscozitate a unei ecuații eliptice degenerate dacă este o subsoluție și o suprasoluție în același timp. $u$

Istorie

Termenul apare pentru prima dată în lucrarea lui Crandall și Lyons în 1983 [1] pentru soluțiile ecuației Hamilton-Jacobi . Definiția a fost de fapt dată de Evans mai devreme în 1980. [2] Definiția a fost rafinată în munca comună a tuturor celor trei. [3]

Link -uri

↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations , Transactions of the American Mathematical Society vol . 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1999343
↑ Evans, Lawrence C. (1980), On solving certain nonlinear partial partal equations by accretive operator methods , Israel Journal of Mathematics T. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276204
↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations , Transactions of the American Mathematical Society vol. 282 (2): 487–502, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307 /1999247

Literatură

T. A. Belkina, Yu. M. Kabanov. Soluții de vâscozitate ale ecuațiilor integro-diferențiale pentru probabilitatea neruinirii // TVP. - 2015. - T. 60 , Nr. 4 . — S. 802–810 . doi : 10.4213 / tvp5036 . (Rusă)