Teorema de modularitate

Teorema de modularitate  este o teoremă matematică care stabilește o relație importantă între curbele eliptice din câmpul numerelor raționale și formele modulare , care sunt anumite funcții analitice ale unei variabile complexe . În 1995, Andrew Wiles , cu ajutorul lui Richard Taylor , a demonstrat această teoremă pentru toate curbele eliptice semistabile din câmpul numerelor raționale. Dovada cazurilor rămase (nesemistabile) ale teoremei a fost rezultatul lucrării lui Christoph Breuil , Brian Conrad, Fred Diamondși Richard Taylor. Până în 2001 (dovada completă a fost obținută în 1999 ), teorema a fost numită conjectura Taniyama-Shimura-Weil (sau conjectura Taniyama-Shimura-Weil ).

Teorema de modularitate face parte din programul Langlands , care urmărește în mod specific să găsească relația dintre formele automorfe sau reprezentările automorfe (o generalizare convenabilă a formei modulare) cu obiecte mai generale din geometria algebrică , cum ar fi curbele eliptice peste un câmp numeric algebric. Majoritatea ipotezelor din acest program nu au fost încă dovedite.

Formulare

Dacă  este un număr prim și  este o curbă eliptică peste ( câmpul numerelor raționale ), atunci putem simplifica ecuația prin definirea modulo ; pentru orice set finit de valori , se poate obține o curbă eliptică peste un câmp finit de elemente. Să introducem o secvență , care este un invariant important al curbei eliptice . Orice formă modulară ne oferă, de asemenea, o secvență de numere (folosind transformata Fourier ). O curbă eliptică a cărei succesiune coincide cu cea a unei forme modulare se numește modulară.

Teorema de modularitate afirmă că toate curbele eliptice sunt modulare.

Istorie

Această afirmație a fost prezentată pentru prima dată ca ipoteză de Yutaka Taniyama în septembrie 1955 . Împreună cu Goro Shimura , a rafinat puțin formularea în 1957 , dar nu a putut continua din cauza unor probleme psihologice [1] [2] .

În anii 1960 , ipoteza a fost inclusă în programul Langlands pentru unificarea ipotezelor matematice. Francezul Andre Weil și-a amintit ipoteza în anii 1970 și și-a început studiul activ , prin urmare această ipoteză este adesea numită ipoteza Taniyama-Shimura-Weil .

Ipoteza a devenit larg interesată abia când, în 1985, Gerhard Freia sugerat că conjectura Taniyama-Shimura (atunci se numea așa) este o generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat , deoarece orice contraexemplu la ultima teoremă a lui Fermat ar duce în cele din urmă la o curbă eliptică non-modulară. În 1986 Ken Ribeta dovedit această presupunere. În 1995, Andrew Wiles și Richard Taylor au demonstrat un caz special al teoremei Taniyama-Shimura (cazul curbelor eliptice semistabile), ceea ce a fost suficient pentru a demonstra Ultima Teoremă a lui Fermat [3] .

Teorema de modularitate a fost pe deplin demonstrată în 1999 , ca rezultat al lucrării lui Christoph Breuil, Brian Conrad, Fred Diamondși Richard Taylor , care, bazându-se pe munca lui Wiles, a dovedit cazurile rămase (nesemi-stabile).

Alte teoreme ale teoriei numerelor decurg din teorema de modularitate, similară cu Ultima Teoremă a lui Fermat. De exemplu, „cubul unui număr nu poate fi scris ca suma a două numere coprime care sunt puterea --a a unui număr natural dacă ” [4] .

În martie 1996, Wiles a primit Premiul Wolf împreună cu Robert Langlands . Deși niciunul dintre ei nu a demonstrat complet teorema, s-a susținut că au avut o contribuție semnificativă, facilitând foarte mult demonstrarea ulterioară [5] .

Note

  1. ↑ Stewart, 2016 , p. 196.
  2. ↑ Taniyama sa sinucis în 1958 , lăsând o notă destul de criptică. Aproximativ o lună mai târziu, logodnica lui Misako Suzuki s-a sinucis, lăsând un bilet în care spunea că ar trebui să se reîntâlnească cu logodnicul ei.
  3. ↑ Soloviev Yu.P. Conjectura lui Taniyama și ultima teoremă a lui Fermat  (neopr.)  // Soros Educational Journal. - 1998. - Februarie. - S. 135-138 .
  4. ↑ Cazul era cunoscut chiar de Euler și Fermat însuși.
  5. ↑ Stewart, 2016 , p. 200.

Link -uri

Literatură