Geometrie algebrică

Geometria algebrică  este o ramură a matematicii care combină algebra și geometria . Principalul subiect de studiu al geometriei algebrice clasice, precum și în sensul larg al geometriei algebrice moderne, sunt seturile de soluții ale sistemelor de ecuații algebrice . Geometria algebrică modernă se bazează în mare măsură pe metodele algebrei generale (în special algebrei comutative ) pentru a rezolva problemele care apar în geometrie.

Obiectul principal de studiu al geometriei algebrice îl reprezintă varietățile algebrice , adică obiectele geometrice specificate ca mulțimi de soluții ale sistemelor de ecuații algebrice. Cele mai bine studiate sunt curbele algebrice : linii drepte , secțiuni conice , cuburi (cum ar fi o curbă eliptică ) și curbe de ordin superior ( lemniscatele sunt exemple de astfel de curbe ). Întrebările de bază din teoria curbelor algebrice se referă la studiul punctelor „speciale” de pe o curbă, cum ar fi punctele singulare sau punctele de inflexiune . Întrebări mai avansate se referă la topologia unei curbe și relațiile dintre curbe date prin ecuații diferențiale .

Geometria algebrică modernă are relații multiple cu domenii foarte variate ale matematicii, cum ar fi analiza complexă , topologia sau teoria numerelor . Studiul sistemelor specifice de ecuații cu mai multe variabile a condus la înțelegerea importanței studierii proprietăților interne generale ale mulțimilor de soluții ale unui sistem arbitrar de ecuații algebrice și, ca urmare, la rezultate profunde în multe ramuri ale matematicii.

În secolul al XX-lea, geometria algebrică s-a împărțit în mai multe discipline (interconectate):

Principalul flux de cercetare în geometria algebrică al secolului XX a procedat cu utilizarea activă a conceptelor de algebră generală, cu accent pe proprietățile „interne” ale varietăților algebrice care nu depind de un mod specific de încorporare a unei varietăți într-un anumit spațiu. Realizarea ei cheie a fost teoria schemelor de Alexander Grothendieck , care a făcut posibilă aplicarea teoriei snopilor la studiul soiurilor algebrice prin metode similare cu studiul soiurilor diferențiabile și complexe. Acest lucru a condus la o extindere a conceptului de punct: în geometria algebrică clasică, un punct dintr-o varietate afină ar putea fi definit ca idealul maxim al unui inel de coordonate, în timp ce toate punctele schemei afine corespunzătoare sunt idealurile prime ale inelului dat. . Un punct al unei astfel de scheme poate fi considerat atât ca un punct obișnuit, cât și ca o subvarietate , ceea ce a făcut posibilă unificarea limbajului și instrumentelor geometriei algebrice clasice. Dovada ultimei teoreme a lui Fermat de către Andrew Wiles a fost unul dintre cele mai clare exemple ale puterii acestei abordări.

Concepte de bază

Soiuri afine

În primul rând, trebuie să reparăm câmpul principal k . În geometria algebrică clasică, de regulă, se utilizează câmpul numerelor complexe, dar setul de rezultate rămâne valabil pentru orice câmp închis algebric (în cele ce urmează se presupune închiderea algebrică). Luați în considerare un spațiu afin n - dimensional (Motivul pentru care nu luați în considerare un spațiu vectorial peste k este de a sublinia independența proprietăților varietății față de structura spațiului vectorial. Elementele spațiului de bază sunt tratate ca puncte, nu ca vectori). Fixăm o anumită bază în spațiul afin (în special, alegem originea coordonatelor). Atunci fiecare familie S de polinoame din inelul k [ x 1 ,…, x n ] poate fi asociată cu o mulțime V ( S ) de puncte ale căror coordonate satisfac toate polinoamele din mulțime:

De fapt, proprietatea unei funcții de a fi polinomială nu depinde de alegerea bazei, așa că se poate vorbi pur și simplu de funcții polinomiale și de mulțimea de zerouri comune ale unei familii de astfel de funcții. Mulțimile reprezentabile ca V ( S ) sunt numite mulțimi algebrice .

Orice submulțime a unui spațiu afin U poate fi asociată cu o mulțime I(U) de polinoame egală cu zero în toate punctele acestei mulțimi. Este ușor de verificat dacă acest set este un ideal în inelul polinomial. Apar două întrebări firești:

Evident, pentru ca prima egalitate să se țină, este necesar ca U să fie o mulțime algebrică; de asemenea, este ușor să verificați dacă această condiție este suficientă. Căutarea unui răspuns la a doua întrebare provoacă mari dificultăți, David Hilbert a demonstrat binecunoscuta teoremă zero a lui Hilbert , conform căreia I ( V ( S )) coincide cu radicalul idealului din inelul polinoamelor generate de elementele S. ; aceasta înseamnă că există o corespondență bijectivă între mulțimile algebrice și idealurile radicale ale unui inel polinomial. Teorema de bază a lui Hilbert afirmă că toate idealurile dintr-un inel polinomial sunt generate finit , adică orice mulțime algebrică poate fi definită printr-un număr finit de ecuații.

Se spune că o mulțime algebrică este ireductibilă dacă nu poate fi reprezentată ca unirea a două mulțimi algebrice mai mici. O varietate algebrică afină [1]  este o mulțime algebrică ireductibilă; în limbajul algebric, idealurile prime ale inelelor polinomiale corespund varietăților afine. Orice mulțime algebrică poate fi reprezentată ca o uniune a unui număr finit de varietăți algebrice (niciuna dintre ele nu este o submulțime a celeilalte) și, în plus, într-un mod unic [2] .

Unii autori nu fac o distincție terminologică între „mulțimi algebrice” și „soiuri algebrice” și folosesc în schimb termenul „mulțime algebrică ireductibilă” (sau „varietate ireductibilă”).

Funcții obișnuite

O funcție obișnuită dintr-o mulțime algebrică  este o funcție care este o restricție pe V a unei funcții polinomiale. Funcțiile regulate pe V formează un inel k [ V ], numit inel de coordonate al acestei mulțimi. Acest inel este izomorf cu inelul factor al inelului polinomial din I ( V ) (într-adevăr, dacă f și g au aceeași restricție asupra V , atunci f − g aparține lui I ( V ).

Mapările regulate între mulțimile algebrice sunt definite într-un mod natural. Și anume, maparea obișnuită are forma , unde  sunt funcțiile obișnuite. O mapare regulată la o mulțime algebrică  este o funcție regulată astfel încât .

Având în vedere o mapare obișnuită , orice funcție obișnuită poate fi mapată la o funcție obișnuită prin regulă . O mapare este un homomorfism inel , la fel cum fiecare homomorfism al inelelor de coordonate definește o mapare regulată a mulțimilor algebrice (în sens invers). Din aceste corespondențe, putem deduce că categoria mulțimilor algebrice (ale căror morfisme sunt funcții regulate) este duală cu categoria k - algebrelor generate finit fără nilpotenți . Descoperirea acestei echivalențe a fost punctul de plecare al teoriei circuitelor.

Funcții raționale

Spre deosebire de subsecțiunea anterioară, aici vor fi luate în considerare numai varietățile algebrice (ireductibile). Pe de altă parte, aceste definiții pot fi extinse la varietăți proiective .

Dacă V  este o varietate afină, inelul său de coordonate este integral și, prin urmare, are un câmp de coeficienti . Acest câmp se notează k ( V ) și se numește câmpul funcțiilor raționale pe V. Domeniul unei funcții raționale nu este neapărat egal cu întregul V , ci este egal cu complementul mulțimii pe care numitorul ei este egal cu zero. În mod similar în cazul funcțiilor obișnuite, este definită o mapare rațională între varietăți, în mod similar, mapările raționale corespund unu-la-unu homomorfismelor câmpurilor de funcții raționale.

Se spune că două varietăți afine sunt echivalente birațional dacă există două mapări raționale între ele care sunt reciproc inverse pe domeniile lor (în mod echivalent, câmpurile de funcție rațională ale acestor varietăți sunt izomorfe).

O varietate afină se numește varietate rațională dacă este echivalentă birațional cu un spațiu afin. Cu alte cuvinte, poate fi parametrizat rațional. De exemplu, cercul unitar este o curbă rațională deoarece există funcții

specificând o mapare rațională de la o linie la un cerc, se poate verifica că maparea inversă este și rațională (vezi și proiecția stereografică ).

Scheme

La sfârșitul anilor 1950, Alexander Grothendieck a dat o definiție a schemei , generalizând noțiunea de varietate algebrică. O schemă afină este spectrul unui inel (în geometria algebrică clasică, inele polinomiale) împreună cu un snop de inele pe acesta (fiecare set deschis este asociat cu funcții raționale definite în fiecare punct al mulțimii). Schemele afine formează o categorie care este duală cu categoria inelelor comutative , aceasta extinde dualitatea mulțimilor algebrice și algebrelor fără nilpotenți. Schemele generale sunt rezultatul lipirii mai multor scheme afine (ca spații topologice cu topologia Zariski ).

Geometrie algebrică reală

Geometria algebrică reală  este studiul mulțimilor algebrice reale, adică soluțiile reale ale ecuațiilor algebrice cu coeficienți reali și mapări între ei.

Geometria semi-algebrică  este studiul mulțimilor semi-algebrice, adică al mulțimilor de soluții reale ale ecuațiilor și inegalităților algebrice cu coeficienți reali, precum și al mapărilor dintre ele.

Geometrie algebrică computațională

Baza lui Gröbner

O bază Gröbner este un sistem de elemente care generează un ideal dat într-un inel polinomial peste un câmp (nu neapărat închis algebric); calculul bazei Gröbner permite determinarea unor proprietăți ale mulțimii algebrice V definite de acest ideal într-o extensie închisă algebric (de exemplu, un sistem de ecuații cu coeficienți reali definește în mod natural mulțimea de numere complexe care satisfac toate ecuațiile).

Informațiile despre baza Gröbner nu sunt suficiente pentru a calcula descompunerea unei mulțimi date în componente ireductibile, cu toate acestea, există algoritmi pentru rezolvarea acestei probleme care o folosesc și ei.

În unele cazuri, calculul bazei Gröbner este destul de dificil: în cel mai rău caz, poate conține polinoame al căror grad depinde ca un dublu exponent (o expresie de forma ) de numărul de variabile din inelul polinomial; numărul elementelor de bază poate crește în același ritm. Cu toate acestea, aceasta este o limită superioară a complexității și, în multe cazuri, acești algoritmi pot fi utilizați pentru a lucra cu inele polinomiale în câteva zeci de variabile.

Istorie

Context: înainte de secolul al XIX-lea

Semne ale originii geometriei algebrice pot fi găsite în lucrările grecilor din secolul al V-lea î.Hr. e. De exemplu, problema dublării cubului se rezumă la construirea unui cub al cărui volum este egal cu volumul „cutiei” pentru datele a și b . Menechm a interpretat această problemă din punct de vedere geometric ca construind intersecția a două conice : ay = x 2 și xy = ab . [3] În lucrările ulterioare ale lui Arhimede și Apollonius , secțiunile conice sunt studiate mai sistematic, inclusiv folosind coordonatele. Matematicienii arabi știau să rezolve anumite ecuații cubice și puteau interpreta rezultatele geometric. Matematicianul persan Omar Khayyam (secolul XI) a descoperit o modalitate de a rezolva o ecuație cubică generală folosind intersecția unui cerc și a unei parabole. [patru]

Matematicienii francezi François Viet și, mai târziu, René Descartes și Pierre Fermat au schimbat radical modul în care au fost create construcțiile geometrice, creând geometria analitică . Obiectivele lor principale au fost să studieze curbele algebrice , cum ar fi curbele date de ecuații diofantine (în cazul lui Fermat), conici și cubici (în cazul lui Descartes). În aceeași perioadă, Pascal și Desargues au abordat problema dintr-un unghi diferit, dezvoltând geometria proiectivă . Pascal și Desargues au explorat și proprietățile curbelor, dar numai din punct de vedere geometric, folosind construcții de busolă și drepte. În cele din urmă, geometria analitică a prevalat asupra acestei abordări, deoarece a oferit matematicienilor din secolul al XVIII-lea instrumente de calcul specifice pentru a rezolva probleme fizice folosind noi analize . Ca urmare, până la sfârșitul secolului al XVIII-lea, utilizarea metodelor algebrice în geometrie a fost redusă la utilizarea calculului infinitezimal (în special, a fost folosit în mod activ de Euler și Lagrange ).

secolul al XIX-lea

În secolul al XIX-lea, dezvoltarea geometriei non-euclidiene și teoria integralelor abeliene au contribuit la întoarcerea ideilor algebrice la geometrie. Cayley a fost primul care a investigat polinoamele omogene pe un spațiu proiectiv , în special formele pătratice . Mai târziu , Felix Klein a studiat geometria proiectivă (precum și alte ramuri ale geometriei) din punctul de vedere că geometria spațiului este dată de un grup de transformări ale acestuia. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, geometrii studiau nu numai transformările liniare proiective , ci și transformările biraționale de grad superior.

Dezvoltarea teoriei integralelor abeliene l-a determinat pe Bernhard Riemann să creeze teoria varietăților riemanniene. Folosind integrale de primul fel, K. Schwartz a demonstrat că o curbă care admite un grup continuu de transformări biraționale în sine este echivalentă birațional cu o curbă dreaptă sau eliptică. Geometria algebrică din a doua jumătate a secolului al XIX-lea este reprezentată în principal de școala italiană de la Cremona la Enriques .

În această perioadă, algebrizarea geometriei a început folosind algebra comutativă: în special, David Hilbert și-a demonstrat teoremele pe baza și Nullstellensatz.

secolul al XX-lea

Ideile de construire a geometriei algebrice pe baza algebrei comutative , care a fost intens dezvoltată în anii 30 și 40 ai secolului XX , se întorc la O. Zarisky și A. Weyl . Unul dintre scopurile lor a fost acela de a demonstra rezultatele școlii italiene: geometrii italieni din acea perioadă foloseau conceptul de „punct comun” în dovezile lor, fără nicio definiție strictă a acestuia.

În anii 1950 și 60, Jean-Pierre Serre și Alexander Grothendieck au reelaborat complet bazele geometriei algebrice cu tehnici din teoria snopilor, teoria schemelor și algebra omologică . În anii 1970, dezvoltarea oarecum stabilizată, s-au găsit aplicații la teoria numerelor și la întrebări mai clasice din geometria algebrică: studiul singularităților și modulelor .

O clasă importantă de varietăți algebrice care sunt dificil de descris folosind doar ecuații definitorii sunt varietățile abeliene . Exemplul lor principal sunt curbele eliptice , care au o teorie foarte extinsă. Ele au devenit un instrument pentru demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat și sunt utilizate în criptografia eliptică .

Aplicații

Geometria algebrică își găsește aplicații în statistică [5] , teoria controlului [6] , robotică [7] , teoria codurilor de corectare a erorilor [8] și modelare [9] . Aplicații sunt cunoscute și în teoria corzilor [10] , teoria solitonilor [11] , teoria jocurilor [12] și teoria potrivirii [13] .

Vezi și

Note

  1. ↑ Hartshorne, 1981 , p. optsprezece.
  2. ↑ Hartshorne, 1981 , p. 22.
  3. ↑ Dieudonné, Jean. Dezvoltarea istorică a geometriei algebrice  (engleză)  // The American Mathematical Monthly  : jurnal. - 1972. - Vol. 79 , nr. 8 . - P. 827-866 . - doi : 10.2307/2317664 . — .
  4. ^ Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volumul 1). Presa Universitatii Oxford. pp. 193-195.
  5. ↑ Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), Lectures on Algebric Statistics Arhivat 20 februarie 2014 la Wayback Machine Springer, ISBN 978-3-7643-8904-8
  6. ↑ Peter L. Falb (1990), [1] Arhivat la 27 iunie 2014 la Wayback Machine , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3454-3
  7. ↑ JM Selig (205), Geometric fundamentals of robotics Arhivat la 20 februarie 2014 la Wayback Machine , Springer, ISBN 978-0-387-20874-9
  8. ↑ Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebraic geometric codes: basic notations Arhivat 20 februarie 2014 la Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4306-2
  9. ↑ Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Modelare geometrică și geometrie algebrică Arhivată la 20 februarie 2014 la Wayback Machine , Springer, ISBN 978-3-540-72184-0
  10. ↑ David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Mirror Symmetry and algebric geometry Arhivat 20 februarie 2014 la Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2127-5
  11. ↑ I.M. Krichever și P.G. Grinevich, Metode de geometrie algebrică în teoria solitonilor, capitolul 14 din teoria Soliton Arhivat la 20 februarie 2014 la Wayback Machine , Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990, ISBN 978-0-79190-eight
  12. ↑ Blume, L.E.; Zame, WR Geometria algebrică a echilibrului perfect și secvenţial  (engleză)  // Econometrica  : journal. - 1994. - Vol. 62 , nr. 4 . - P. 783-794 . — .  (link indisponibil)
  13. ↑ Richard Kenyon; Andrei Okounkov & Scott Sheffield (2003), Dimers and Amoebae, arΧiv : math-ph/0311005 [math-ph]. 

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”