Conjectura lui Euler

Conjectura lui Euler afirmă că pentru orice număr natural, nicio putere a n- a a unui număr natural nu poate fi reprezentată ca suma puterilor a-lea ale altor numere naturale. Adică ecuațiile: $n > 2$ $(n-1)$ $n$

{\begin{matrice}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\ a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{{k=1}}^{{ n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrice}}

nu au soluție în numere naturale. Infirmată de .

Conjectura a fost făcută în 1769 de Euler ca o generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat , care corespunde cazului special n = 3. Astfel, conjectura lui Euler este adevărată pentru n = 3.

Contraexemple

n = 5

În 1966, L. Lander , T. Parkin și J. Selfridge au găsit primul contraexemplu pentru n = 5 folosind supercalculatorul CDC 6600 : [1] 2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

n = 4

În 1986, Noam Elkis a găsit un contraexemplu pentru cazul n = 4: [3] [4]

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

În 1988, Roger Frye a găsit cel mai mic contraexemplu pentru n = 4: [5] [4]

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Generalizări

În 1966, L. D. Lander , T. R. Parkin și Selfridge au presupus că dacă , unde sunt numere întregi pozitive, , atunci . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i={\overline {1,n)),j={\overline {1,m}}$ $m+n\geqslant k$

Dacă această ipoteză este adevărată, ar implica, în special, că dacă , atunci . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=b^{k}$ $n\geqslant k-1$

O mulțime de numere întregi pozitive care satisface egalitatea , unde , se numește ( k , n , m )-soluție. Căutarea unor astfel de soluții pentru diferite valori ale parametrilor k , n , m este efectuată de proiectele de calcul distribuit EulerNet [6] și yoyo@home . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$

Vezi și

Note

↑ LJ Lander, T.R. Parkin: Contraexemplu la conjectura lui Eulers despre sumele puterilor similare . Taur. amer. Matematică. soc. vol. 72, 1966, p. 1079
^ LJ Lander, TR Parkin, JL Selfridge. Un studiu de sume egale de puteri similare // Math . Comp. : jurnal. - 1967. - Vol. 21 . - P. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 .
↑ Noam Elkies. Pe A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matematica calculului. - 1988. - Vol. 51 , nr. 184 . - P. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. Toate soluțiile ecuației diofantine a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 pentru a,b,c,d,e,f,g < 250000 au fost găsite cu un proiect Boinc distribuit Arhivat 3 septembrie 2015 la Wayback Machine , 2011, preprint.
^ Frye, Roger E. (1988), Finding 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 on the Connection Machine , Proceedings of Supercomputing 88, Vol. II: Science and Applications , p. 106–116 , DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Arhivat pe 9 decembrie 2013 la Wayback Machine .

Link -uri

EulerNet Arhivat pe 9 decembrie 2013 la Wayback Machine
Euler Conjecture Arhivat pe 21 iunie 2013 la Wayback Machine