Secvența jonglerului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 noiembrie 2017; verificările necesită 2 modificări .

În matematică , o secvență jongler este o secvență întreagă care începe cu un număr natural a 0 , în care fiecare element următor este determinat de următoarea relație de recurență :

a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{ k}{\mbox{ este pară}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{k} {\mbox{ este impar}}\end{cases}}

[unu]

Informații generale

Secvențele jonglerii au fost descoperite de matematicianul și autorul american Clifford A. Pickover[2] [3] . De exemplu, secvența jonglerului pentru un 0 = 3:

a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,

a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,

a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,

a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,

a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,

a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.

Dacă o secvență de jongler ajunge la 1, atunci toate valorile sale ulterioare sunt 1. Se presupune că toate secvențele de jongler ajung în cele din urmă la 1. Această ipoteză a fost testată pentru valorile inițiale (a 0 ) până la 10 6 [4] , dar nu a fost dovedit. Ipoteza jonglerului este astfel o problemă similară cu problema Collatz , despre care Paul Erdős spunea că „matematica nu este încă pregătită pentru astfel de probleme”. Pentru un număr inițial dat a 0 , l(a 0 ) este definit ca numărul primului element egal cu unu, iar h(a 0 ) este definit ca valoarea maximă din această secvență. Pentru valori mici a 0 obținem:

un 0	Secvența jonglerului	l ( a 0 ) secvența A007320 în OEIS	h ( a 0 ) secvența A094716 în OEIS
2	2, 1	unu	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
patru	4, 2, 1	2	patru
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	patru	optsprezece
opt	8, 2, 1	2	opt
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
zece	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Elementele secvenței jonglerului pot atinge valori foarte mari. De exemplu, o secvență de jongler care începe de la 0 = 37 atinge o valoare maximă de 24 906 114 455 136. O secvență de jongler pentru un 0 = 48443 atinge valoarea maximă, care conține 972 463 de cifre, la al 60-lea element și 15-m este atins. element al succesiunii [5] .

Vezi și

Note

↑ par - număr par, impar - număr impar.
↑ Pickover, Clifford A.1, 1992 .
↑ Pickover, Clifford A.2, 2002 .
↑ secvență jongler pe MathWorld .
↑ Scrisoare de la Harry J. Smith către Cliiford A. .

Literatură

Pickover, Clifford A. Computers and the Imagination. -Sf. Martin's Press, 1992. - ISBN 978-0-312-08343-4 .
Pickover, Clifford A. Matematica din Oz . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-01678-0 .
Weisstein, Eric W. Secvența jonglerului . Mathworld . Preluat: 19 iunie 2012.
Scrisoare de la Harry J. Smith către Cliiford A. Pickover (engleză) (27 iunie 1992). Data accesului: 19 iunie 2012. Arhivat din original la 27 octombrie 2009.