Chenar (topologie)

Limita mulțimii A este mulțimea tuturor punctelor situate în mod arbitrar aproape de ambele puncte din mulțimea A și de punctele din afara mulțimii A .

Definiție

Fie dat un spațiu topologic , unde este o mulțime arbitrară și este o topologie definită pe . Să fie considerată mulțimea . Atunci punctul se numește punctul limită al mulțimii numai dacă pentru oricare dintre vecinătățile sale situate în întregime în acest spațiu topologic, este adevărat: $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $A\subsetX.$ $x_{0}\în X$ $A$ $U\ni x_{0},$

U\cap A\neq \varnothing

și în același timp

U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .

Mulțimea tuturor punctelor de limită ale mulțimii se numește granița mulțimii ( in ) și se notează sau dacă este necesar să subliniem că granița este considerată relativ la spațiul înconjurător . $A$ $A$ $X$ $\partial A$ $\partial _{X}A$ $X$

Proprietăți

$\partial A=\partial \left(A^{{\complement }}\right);$
$\partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };$
$\partial A$ este un set închis ;
$A$ este un set deschis dacă și numai dacă $A\cap \partial A=\emptyset ;$
$A$ este o mulţime închisă dacă şi numai dacă $\partial A\subset A;$
$A$ este un set deschis și simultan închis dacă și numai dacă $\partial A=\emptyset ;$
$\partial \partial A\subset \partial A$ , iar egalitatea se realizează dacă și numai dacă $\partial \partial A=\partial A$ $(\partial A)^{\circ }=\emptyset ;$
$\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Exemple

Luați în considerare o linie numerică cu topologia standard . Atunci: pentru : $\mathbb {R}$ $-\infty <a<b<+\infty$

Pentru : $-\infty <a<b<+\infty$ $\partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b) =\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R} .$

În acest caz, este foarte important în raport cu ce spațiu topologic ambiental este considerată limita mulțimii.

De exemplu, având în vedere o topologie standard, atunci granița unui cerc deschis față de această topologie este egală cu un cerc , deoarece vecinătatea, cu ajutorul căreia este definită limita mulțimii, este o figură plată (de exemplu, un cerc cu orice rază diferită de zero poate servi drept vecinătate) și pentru ca orice vecinătate a punctului de limită să se poată intersecta atât cu cercul, cât și cu complementul său , punctul de limită trebuie să fie pe cerc. $\mathbb {R} ^{2}.$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\)$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\}.$

Dacă luăm în considerare topologia standard, atunci limita cercului deschis va fi un cerc închis, deoarece în interiorul vecinătății este deja o figură tridimensională (să zicem, o minge), iar complementul cercului este relativ deja . În consecință, în acest caz, nu numai orice punct al cercului , ci și orice punct al setului inițial va intra sub definiția punctului de limită al unui cerc deschis . $\mathbb {R} ^{3},$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\)$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1\},$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{ 2}\ori (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\)$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}.$

Chenar (topologie)

Definiție

Proprietăți

Exemple

Vezi și