Spațiul topologic

Un spațiu topologic este o mulțime cu o structură suplimentară de un anumit tip (așa-numita topologie); este principalul obiect de studiu al topologiei .

Din punct de vedere istoric, noțiunea de spațiu topologic a apărut ca o generalizare a unui spațiu metric . Spațiile topologice apar în mod natural în aproape toate ramurile matematicii. Printre generalizările ulterioare ale ideilor despre o mulțime cu structură spațială se numără și spațiul pseudotopologic [1] .

Definiție

Să fie dat un set . Un sistem din submulțimile sale se numește topologie dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Unirea unei familii arbitrare de mulțimi aparținând lui ; adică pentru orice set de indexare și familie , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T}),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
Intersecția unei familii finite de mulțimi aparținând lui ; adică dacă , atunci . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnimic \în \mathcal{T}$ .

Perechea se numește spațiu topologic . Seturile care aparțin se numesc mulțimi deschise . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Mulțimile care sunt complementare celor deschise se numesc închise .

Orice mulțime deschisă care conține un punct dat se numește vecinătate .

Axiome suplimentare

Cele trei axiome care definesc clasa generală de spații topologice sunt adesea completate de anumite axiome de separabilitate , în funcție de care se disting diferite clase de spații topologice, de exemplu, spații Tihonov, spații Hausdorff, spații regulate, complet regulate, normale etc.

În plus, proprietățile spațiilor topologice sunt puternic afectate de îndeplinirea anumitor axiome de numărabilitate - prima axiomă de numărabilitate , a doua axiomă de numărabilitate (spații cu o bază de topologie numărabilă), precum și separabilitatea spațiului. Din prezența unei baze numărabile a topologiei, urmează separabilitatea și îndeplinirea primei axiome a numărabilității. În plus, de exemplu, spațiile regulate cu bază numărabilă sunt normale și, în plus, metrizabile, adică topologia lor poate fi dată de o metrică. Pentru spațiile compacte Hausdorff, prezența unei baze de topologie numărătoare este o condiție necesară și suficientă pentru metrizabilitate. Pentru spațiile metrice, prezența unei baze de topologie numărătoare și separabilitatea sunt echivalente.

Exemple

Un două puncte conectate este un spațiu topologic în două puncte.

O linie reală este un spațiu topologic dacă, de exemplu, uniunile arbitrare (vide, finite sau infinite) ale intervalelor finite sau infinite sunt numite mulțimi deschise. Mulțimea tuturor intervalelor deschise finite este baza acestei topologii . Aceasta este topologia standard pe linie. În general, pe mulțimea numerelor reale pot fi introduse topologii foarte diverse, de exemplu, o linie dreaptă cu o „topologie săgeată”, unde mulțimile deschise arată ca , sau o topologie Zariski , în care orice mulțime închisă este o mulțime finită de puncte. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\la$ $(a,\infty)$

În general, spațiile euclidiene sunt spații topologice. Topologia lor standard se poate baza pe sfere deschise sau cuburi deschise. Generalizând în continuare, fiecare spațiu metric este un spațiu topologic a cărui topologie se bazează pe bile deschise . Așa sunt, de exemplu, spațiile infinit-dimensionale ale funcțiilor studiate în analiza funcțională . $\mathbb {R} ^{n}$

Setul de mapări continue dintr-un spațiu topologic într-un spațiu topologic este un spațiu topologic în raport cu următoarea topologie, care se numește deschis compact . Prebaza este dată de mulțimi formate din mapări sub care imaginea unui set compact în se află într-un set deschis în . $C(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $X$ $U$ $Y$

O mulțime arbitrară poate fi transformată într-un spațiu topologic numind toate submulțimile sale deschise. O astfel de topologie se numește discretă . În ea, orice seturi sunt deschise. Un alt caz limitativ este de a numi numărul minim posibil de submulțimi deschise , și anume, de a introduce o topologie trivială - doar mulțimea goală și spațiul însuși sunt deschise în ea . $X$ $X$ $X$

Modalități de definire a topologiei

Specificarea unei topologii folosind o bază sau o prebază

Nu este întotdeauna convenabil să enumerați toate seturile deschise. Este adesea mai convenabil să specificați un set mai mic de seturi deschise care le generează pe toate. O formalizare a acestui lucru este noțiunea de bază de topologie. Un subset de topologie se numește bază de topologie dacă orice mulțime deschisă este reprezentată ca o uniune de mulțimi din , i.e. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

O modalitate și mai economică de a specifica o topologie este de a specifica prebaza acesteia , o mulțime care devine o bază dacă i se adaugă intersecții finite arbitrare ale elementelor sale. Pentru ca un sistem de multimi sa fie declarat o prebaza a topologiei, este necesar si suficient ca acesta sa acopere intreaga multime . ${\mathfrak {P}}$ $X$

Prebazele sunt cel mai adesea folosite pentru a specifica topologia indusă pe o familie de mapări (vezi mai jos). $X$

Topologie indusă

Fie o mapare arbitrară a unei mulțimi într-un spațiu topologic . Topologia indusă oferă o modalitate naturală de a introduce o topologie pe : seturile deschise în sunt considerate ca fiind toate imaginile inverse posibile ale seturilor deschise în ; adică deschis dacă există un deschis astfel încât . Topologia de pe , descrisă mai sus, este topologia minimă și singura (prin includere) în care maparea dată este continuă. $f:X\la Y$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $U\în X$ $V\în Y$ $U=f^{-1}(V)$ $X$

Exemplu. Fie spațiu topologic, submulțimea lui. Dacă aplicăm construcția descrisă mai sus la înglobarea teoretică a mulțimii , atunci obținem o topologie pe o submulțime, numită de obicei și topologie indusă. $X$ $A$ $i:A\la X$

Topologie factorială

Să fie un spațiu topologic, să fie definită și o relație de echivalență pe el , în acest caz există o modalitate naturală de a defini topologia setului de factori . Declarăm un submult de factori deschis dacă și numai dacă preimaginea sa din maparea de factorizare este deschisă în . Este ușor de verificat, în primul rând, că aceasta definește într-adevăr o topologie și, în al doilea rând, că aceasta este topologia maximă și singura (prin includere) în care harta de factorizare indicată este continuă. O astfel de topologie este de obicei numită topologie coeficient pe . $X$ $\sim$ $X/{\sim }$ $X$ $X/{\sim }$

Definirea topologiei cu mulțimi închise

O mulțime se numește închisă dacă complementul său este o mulțime deschisă. A defini o topologie pe un sistem de mulțimi închise înseamnă a prezenta un sistem de submulțimi cu următoarele proprietăți: $F\subset X$ $U = X \setminus F$ $X$ ${\mathcal {P}}$ $X$

Sistemul este închis sub operația de intersecție a mulțimilor (inclusiv familii infinite): ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Sistemul este închis în ceea ce privește operația de unire a mulțimilor (într-o cantitate finită): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
Seturile sunt incluse în sistem . $X,\;\varnimic$ ${\mathcal {P}}$

Dacă este dat un sistem de set cu astfel de proprietăți, operația de complement este utilizată pentru a construi un sistem de set deschis care definește topologia pe . $\mathcal{T}$ $X$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

În geometria algebrică , se aplică o topologie pe spectrul (un sistem al tuturor idealurilor prime ) unui inel comutativ cu unitatea - . Topologia pe este introdusă folosind un sistem de mulțimi închise: să fie un ideal arbitrar al inelului (nu neapărat simplu), apoi corespunde mulțimii $B$ $X = \mathrm{Spec.}\, B$ $X$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Toate mulțimile de acest fel formează un sistem de mulțimi care satisface axiomele enumerate, deoarece

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Topologia Zariski în spațiu este de asemenea specificată folosind un sistem de mulțimi închise. Mulțimile închise în topologia Zariski sunt toate mulțimile care sunt mulțimile zerourilor comune ale unui sistem finit de polinoame. Îndeplinirea axiomelor unui sistem de mulțimi închise rezultă din faptul că inelul de polinoame este noetherian și din faptul că zerourile comune ale unui sistem arbitrar de polinoame coincid cu zerourile comune ale idealului pe care îl formează. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

Spațiul este încorporat în mod natural în spectrul inelului polinomial (coincide cu mulțimea tuturor punctelor sale închise), iar topologia Zariski nu coincide cu cea indusă de topologia spațială . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec.}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $X$ $Y$

Afișări continue

Conceptul de topologie este minimul necesar pentru a vorbi despre mapări continue . Intuitiv, continuitatea este absența discontinuităților, adică punctele apropiate dintr-o mapare continuă ar trebui să intre în cele apropiate. Se pare că pentru a defini conceptul de proximitate a punctelor, se poate renunța la conceptul de distanță. Aceasta este tocmai definiția topologică a unei hărți continue.

Se spune că o hartă a spațiilor topologice este continuă dacă imaginea inversă a fiecărui set deschis este deschisă. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\la(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

Categoria spațiilor topologice conține ca obiecte toate spațiile topologice, în timp ce morfismele conțin mapări continue. Încercările de clasificare a obiectelor din această categorie folosind invarianți algebrici sunt dedicate unei secțiuni a științei matematice numită topologie algebrică . Topologia generală este dedicată studiului conceptelor de continuitate, precum și a altor concepte precum compactitatea sau separabilitatea, ca atare, fără a recurge la alte instrumente . Ca structuri suplimentare pe obiect , poate exista, de exemplu, un snop de seturi pe sau o linie afină pe , adică . Notați categoria de spații din cu o structură suplimentară prin . Functor uituc - fascicule carteziene. Obiectele se numesc spații cu structură. Obiectul strat de deasupra se numește structura de deasupra . $\mathrm{Sus}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $X$ $X$ $\mathbb {A} _{X}\la X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\la {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\la {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Structura funcțională

Potrivit lui Hochschild, o structură funcțională pe este o mapare care atribuie fiecărui set deschis o subalgebră a algebrei funcțiilor continue cu valori reale pe . Această mapare este un snop de algebre, un sub-snop de germeni de funcții continue cu valori reale pe , care conține un snop constant. Aceasta rezultă din condițiile impuse : $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\subset X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$

dacă este o uniune arbitrară de mulțimi deschise, atunci maparea aparține dacă constrângerea pe fiecare mulțime deschisă aparține lui ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $f$ $U_{\alpha )$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ conține toate constantele funcției; $U$
dacă , atunci constrângerea pe este conținută în . $V\subset U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

De exemplu, o varietate cu graniță este un spațiu Hausdorff paracompact dotat cu o structură funcțională, , izomorfă local spațiului . Limita constă din acele puncte care sunt mapate la punctele hiperplanului, fiind o varietate dimensională netedă cu structura indusă. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n}, C^{\infty })$ $(n-1)$

Grupuri de homotopie de sfere

Grupurile de sfere de homotopie sunt invarianți topologici de bază, a căror înțelegere duce la o mai bună înțelegere a spațiilor topologice în general, precum și la prezența unui număr mare de modele complexe în structura lor.

Vezi și

Glosar de topologie generală

Note

↑ Frölicher, 1970 , p. 21.

Literatură

Aleksandrov, PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Topologie generală. — M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Frölicher, A., Bucher W. Calcul diferențial în spații vectoriale fără normă. — M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Topologie elementară.
Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : Fazis, 1997.