Teorema lui Green discret

O versiune discretă a teoremei lui Green descrie relația dintre integrala dublă a unei funcții pentru o regiune dreptunghiulară generalizată (o regiune care este formată dintr-o însumare finită a dreptunghiurilor în plan) și o combinație liniară a unei funcții antiderivate dată la colțurile lui regiunea. În acest sens, vom lua în considerare versiunea populară a teoremei lui Green discrete. [1] [2]

Teorema este numită după matematicianul britanic George Green , din cauza asemănării cu teorema lui, teorema lui Green: ambele teoreme descriu relația dintre integrarea pe o curbă și integrarea pe o regiune delimitată de o curbă. Teorema a fost prezentată pentru prima dată ca o extensie continuă a algoritmului de reprezentare a imaginii integrale al lui Wang în 2007 la Conferința Internațională ICCV privind Viziunea pe Computer [1] și apoi republicată de profesorul Doretto și colegii [3] într-un jurnal evaluat de colegi în 2011.

Formulare

Să presupunem că ƒ este o funcție integrabilă pe planul R 2 , astfel încât:

F\left(x,y\right)\equiv \int _{0}^{y}\int _{0}^{x}f\left(u,v\right)\,du\, dv

este funcția sa primitivă . Fie o zonă dreptunghiulară generalizată. Apoi reprezentăm teorema ca: $D\subset R^{2}$

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=\sum _({\vec {x))\in \nabla \cdot D}\alpha _{D }\left({\vec {x}}\right)\cdot F\left({\vec {x}}\right),

unde este setul de colțuri ale regiunii date D , este un parametru discret cu valori posibile {0, ±1, ±2}, care sunt determinate în funcție de tipul de colț, așa cum se arată în figura din dreapta. Acest parametru este un caz special al curbei de tendință [4] , care este determinat succesiv utilizând o discontinuitate unilaterală [5] a curbei la colțurile zonei date. $\nabla \cdot D$ $\alpha _{D}$

Această teoremă este o extensie naturală a algoritmului tabelului cu zone generalizate. Această teoremă extinde algoritmul în sensul că regiunea poate fi continuă și poate fi formată dintr-un număr (finit) de dreptunghiuri, în timp ce algoritmul tabelului de regiuni generalizate presupune că regiunea este un singur dreptunghi.

Teorema discretă a lui Green generalizează și teorema Newton-Leibniz .

Ideea dovezii

Pentru a demonstra teorema, puteți aplica formula din algoritmul „Reprezentarea integrală a imaginilor”, care include dreptunghiurile care formează această zonă:

Această imagine arată cum coeficienții + \ - ai funcției originale se anulează reciproc în dreptunghiuri, cu excepția punctelor situate în colțurile acestei zone.

Exemplu

Să presupunem că funcția ƒ este dată pe planul R 2 , atunci F este funcția sa antiderivată. Fie D aria colorată în verde din figura următoare:

Conform teoremei aplicabile acestui domeniu, se obține următoarea expresie:

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=F\left(J\right) -2F\left(K\right)+F\left(L\ dreapta)-F\stanga(M\dreapta)+F\stanga(N\dreapta)-F\stanga(O\dreapta)+F\stanga(P\dreapta)+F\stanga(Q\dreapta)-F\ stânga(R\dreapta).

Aplicații

Teorema lui Discrete Green este utilizată în aplicațiile informatice pentru a detecta obiecte în imagini și a le calcula rapid, precum și în interesul calculului eficient al probabilităților.

Generalizări

În 2011, au fost propuse două generalizări ale teoremei:

O abordare propusă de Prof. Pham și colegii: o generalizare a teoremei domeniului poligonal folosind programarea dinamică [6] .
O abordare propusă de matematicianul Shahar: o generalizare a teoremei la o gamă mai largă de arii folosind operatorul de discontinuitate [5] și metoda de integrare a liniilor înclinate [7] , cu ajutorul căreia a fost formulată teorema lui Green discretă [8] .

Prelegeri video

O introducere în calculul semi-discret din spatele teoriei teoremei lui Green discret .

Vezi și

teorema lui Green

Note

↑ 12 Wang, Xiaogang ; Doretto, Gianfranco; Sebastian, Toma; Rittscher, Jens; Tu, Peter. „Modelarea contextului formei și aspectului” (PDF) . în Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV) 2007 . Parametrul depreciat folosit |coauthors=( ajutor ) Arhivat pe 16 iulie 2011 la Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). „O teoremă a lui Green discret” . Proiectul de demonstrații Wolfram . Arhivat pe 12 noiembrie 2012 la Wayback Machine
↑ Doretto, Gianfranco; Sebastian, Toma; Rittscher, Jens; Tu, Peter. „Reidentificarea persoanei bazată pe aspect în rețelele de camere: prezentare generală a problemelor și abordări actuale” (PDF) . Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, pp. 1–25, Springer Berlin/Heidelberg, 2011 . Parametrul depreciat folosit |coauthors=( ajutor ) Arhivat pe 26 martie 2012 la Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). „Tendința unei curbe” . Proiectul de demonstrații Wolfram . Arhivat pe 24 septembrie 2016 la Wayback Machine
↑ 1 2 Finkelstein, Amir (2010). „Detașarea și tendința unei singure funcții variabile” . Proiectul de demonstrații Wolfram .
↑ Pham, Minh-Tri; Yanggao; Viet-Dung D. Hoang; Tat Jen Cham. „Integrare poligonală rapidă și aplicarea acesteia în extinderea caracteristicilor asemănătoare Haar pentru a îmbunătăți detectarea obiectelor” (PDF) . Proc. a Conferinței IEEE privind viziunea computerizată și recunoașterea modelelor (CVPR), San Francisco, CA, 2010 . Parametrul depreciat folosit |coauthors=( ajutor ) Arhivat pe 2 septembrie 2011 la Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). „Teorema lui Green discretă extinsă” . Proiectul de demonstrații Wolfram . Arhivat pe 20 noiembrie 2015 la Wayback Machine
↑ Shachar, Amir. „Despre o relație între algoritmul de imagine integrală și calcul” (PDF) . arXiv:1005.1418v11[cs.DM], 2011 . (link indisponibil)