Transformă Hartley discretă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 septembrie 2017; verificările necesită 4 modificări .

Transformarea Hartley discretă (abreviată ca DHT) este un fel de transformare trigonometrică ortogonală discretă. În multe cazuri, poate servi ca un substitut pentru transformata Fourier discretă .

Definiție

Secvența de numere reale , , … , se transformă într-o succesiune de numere reale , , … , folosind transformarea Hartley discretă după formula: $N$ $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $H_{0}$ $H_1$ $H_{N-1}$

H_{k}={\dfrac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}h_{n}\operatorname {cas} \left({\dfrac { 2\pi }{N}}nk\right),\ k=0,\ldots ,N-1,

unde [1] . Transformarea Hartley discretă inversă este dată de formula: $\operatorname {cas} x=\cos x+\sin x$

h_{n}=\sum \limits _{k=0}^{N-1}H_{k}\operatorname {cas} \left({\dfrac {2\pi {N}}nk\ dreapta),\ n=0,\ldots ,N-1.

Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de transformata Fourier discretă (abreviată DFT), transformata Hartley dă un număr de numere reale.

Există următoarele formule pentru trecerea de la DFT (secvența , , … , ) la DFT și invers [2] : $F_{0}$ $F_{1}$ $F_{N-1}$

H_{k}=\operatorname {Re} F_{k}-\operatorname {Im} F_{k},

F_{k}={\dfrac {1}{2}}(H_{k}+H_{Nk})-i{\dfrac {1}{2}}(H_{k}-H_{Nk }),\ k=0,\ldots ,N-1.

Fast Hartley Transform

Ideea transformării rapide Hartley (abreviată ca FFT) este aceeași cu cea a transformării rapide Fourier (abreviată ca FFT): datorită simetriei, numărul de calcule poate fi redus.

Fie două noi secvențe de lungime egală cu și să fie obținute din secvența originală , , … , și fie DPT-urile lor egale cu și , respectiv , unde . În aceste notații, formula generală BPH are următoarea formă [3] : $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $\left(h_{0},0,h_{2},0,\ldots \right)$ $\left(0,h_{1},0,h_{3},\ldots \right)$ $H_{1,k)$ $H_{2,k)$ $k=0,\ldots ,N-1$

H_{k}=H_{1,k}+H_{2,k}\cos \left({\dfrac {2\pi {N}}k\right)+H_{2,Nk}\ sin \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right).

Folosind formulele de conversie DFT în DFT de mai sus, puteți utiliza FHT pentru a calcula FFT, ceea ce simplifică calculele din cauza lipsei de înmulțiri complexe [4] .

Note

↑ Bracewell, 1990 , p. 34.
↑ Bracewell, 1990 , p. 36.
↑ Bracewell, 1990 , p. 97.
↑ Bracewell, 1990 , p. 91.

Literatură

Bracewell, R. Hartley Transform. — M .: Mir , 1990. — 175 p. — ISBN 5-03-001632-5 . (Rusă)

Vezi și

Transformare complexă discretă