Ecuația diferențială Bernoulli

O ecuație diferențială obișnuită de forma:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

se numește ecuația Bernoulli (pentru sau obținem o ecuație liniară neomogenă sau omogenă). $n=0$ $n=1$

At este un caz special al ecuației Riccati . Numit după Jacob Bernoulli , care a publicat această ecuație în 1695. $n=2$

Metoda de rezolvare cu ajutorul unei înlocuiri, care reduce această ecuație la una liniară, a fost găsită de fratele său Johann Bernoulli în 1697. [unu]

Metoda soluției

Prima cale

Împărțiți toți termenii ecuației la

y^{n},

primim

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

Efectuarea unei înlocuiri

z=y^{1-n)

și diferențierea, obținem:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Această ecuație se reduce la una liniară:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

și poate fi rezolvată prin metoda Lagrange (variație constantă) sau prin metoda factorului integrator.

A doua cale

Să înlocuim

y=uv,

apoi:

{\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Să alegem astfel încât $v(x)\nu \equiv 0$

{\dot {v}}+a(x)v=0,

pentru aceasta este suficientă rezolvarea ecuaţiei cu variabile separabile de ordinul I. După aceea, pentru definiție, obținem o ecuație - o ecuație cu variabile separabile. $u$ ${\frac {{\dot {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$

Exemplu

Ecuația

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

împărțim la obținem: $y^{2},$

y'y^{{-2}}-{\frac {2}{x}}y^{{-1}}=-x^{2}.

Schimbarea variabilelor

w={\frac {1}{y}}

ofera:

w'={\frac {-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{{-2\int {\frac {1}{x}}dx}}=x^{{-2}}.

Împărțim la $M(x)$

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Rezultat:

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Literatură

A. F. Filippov . Culegere de probleme pe ecuații diferențiale, - Orice ediție.
V. V. Stepanov . Curs de ecuații diferențiale, - Orice ediție.
Zelikin M. I. Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor, - Factorial, Moscova, 1998.

Note

↑ Zelikin M. I. Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor, - Factorial, Moscova, 1998.