Podul de rigiditate

Rigiditatea lui Mostov afirmă că geometria unei varietăți hiperbolice de volum finit în dimensiuni începând de la trei este complet determinată de grupul său fundamental .

Istorie

Pentru varietățile închise, teorema a fost demonstrată de George Mostov în 1968. Generalizat la varietăți de dimensiune finită de Marden și Prasad .  Gromov a dat o altă dovadă - bazată pe volumul simplist .

Înainte de aceasta, Weyl a dovedit declarații strâns legate. În special, faptul că acțiunile cocompacte ale grupurilor de izometrie discrete ale unui spațiu hiperbolic de dimensiunea de cel puțin 3 nu admit deformații netriviale.

Formulări

Formulare geometrică

Fie M și N varietati complete n - dimensionale hiperbolice de volum finit cu n ≥3. Atunci orice izomorfism f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) este indus de izometria M → N .

Aici π 1 ( M ) denotă grupul fundamental al varietății M .

Formulare algebrică

Fie Γ și Δ subgrupuri discrete ale grupului de izometrie G al unui spațiu hiperbolic n - dimensional H cu n ≥ 3 ale cărui spații factoriale H /Γ și H /Δ au volume finite. Atunci izomorfismul lui Γ și Δ ca grupuri discrete implică conjugarea lor în G .

Aplicații

• Grupul de izometrie de volume finite a unei n - varietati hiperbolice M (pentru n ≥3) este finit și izomorf cu grupul de automorfisme exterioare π 1 ( M ).
• Teorema de ambalare a cercurilor

Link -uri

• Gromov, Michael (1981), Varietăți hiperbolice (după Thurston și Jørgensen) , Seminarul Bourbaki, voi. 1979/80 , voi. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), Geometria grupurilor kleiniene generate finit, Analele matematicii. A doua serie Vol. 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Mapări cvasi-conforme în n -spațiu și rigiditatea formelor spațiului hiperbolic , Publ. Matematică. IHES vol. 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces , voi. 78, Analele studiilor de matematică, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Strong rigidity of Q-rank 1 lattices , Inventiones Mathematicae T. 21: 255–286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, în Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, p. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Oferă o analiză a unei mari varietăți de teoreme de rigiditate, inclusiv cele referitoare la grupurile Lie, grupurile algebrice și dinamica fluxurilor. Include 230 de referințe.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds , Princeton lecture notes , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Oferă două dovezi: una similară cu dovada originală a lui Mostow și alta bazată pe norma Gromov )
• Weil, André (1960), Despre subgrupurile discrete ale grupurilor Lie, Analele matematicii. Seria a doua vol. 72: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), Despre subgrupurile discrete ale grupurilor Lie. II, Analele matematicii. A doua serie vol. 75: 578–602, ISSN 0003-486X