Problema lui Potenot

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 ianuarie 2020; verificările necesită 8 modificări .

Problema Potenot ( resecția geodezică inversă ) este una dintre problemele matematice clasice de determinare a locației unui punct pe sol folosind trei repere cu coordonate cunoscute; apare, de exemplu, la determinarea poziției unei nave pe mare folosind trei faruri, distanța până la care este necunoscută. Are peste 100 de soluții analitice și grafice și este un caz special și de generalizare a problemelor de trilaterație și triangulație . A căpătat o mare importanță practică în diverse domenii ( geodezie , navigație , reglaj de rachete și foc de artilerie [1] ) și nu și-a pierdut actualitatea până în prezent.

Enunțul problemei lui Potenot

Găsiți un punct în plan din care laturile unui triunghi dat (plat) sunt vizibile la unghiuri date.

Observație . Dacă toate aceste unghiuri sunt egale între ele și egale cu 120 de grade, atunci punctul dorit este Punctul Torricelli . Punctul determinat nu trebuie situat lângă cercul care trece prin cele trei puncte de plecare [2] .

Istorie

Matematicianul olandez Snellius a fost primul care a rezolvat problema analitic în 1616. Cu toate acestea, în 1692, matematicianul francez L. Potenot (1660-1732) a propus o soluție mai bună a acestei probleme, care mai târziu a primit numele [3] . În timpuri diferite, cartografii I. G. Leman (1765-1811), A. P. Bolotov (1803-1853), A. D. Motorny (1891-1964) și alții au fost angajați în ea.

Procedura de rezolvare a problemei prin metoda Delambre

1. Calculați unghiul de direcție al direcției de la punctul de plecare 1 la punctul determinat „0” conform formulei: [4]

$\mathrm {tg} \alpha _{1-0}={\frac {\Delta Y_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1))+\Delta Y_{1- 3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}-x_{2}+x_{3}}{\Delta X_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1}} +\Delta X_{1-3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}+y_{2}-y_{3}}}$ .

2. Determinați unghiurile direcționale ale direcțiilor din alte puncte de plecare - 2, 3, 4.

$\mathrm {tg} \alpha _{2-0}=a_{1-0}+\beta _{1)$

$\mathrm {tg} \alpha _{3-0}=a_{1-0}+\beta _{2)$

$\mathrm {tg} \alpha _{4-0}=a_{1-0}+\beta _{3)$

3. Folosind formulele tangentelor sau cotangentelor unghiurilor de direcție de la punctele de plecare până la punctul determinat P, se calculează coordonatele punctului P în două combinații. A doua combinație este independentă și control.

eu combinatie

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{1}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}}-x_{2}*{\operatorname {tg} \ alpha _{2-0}}-y_{1}+y_{2}}{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}-\operatorname {tg} \alpha _{2-0))))$ .

$\mathrm {y'} _{0}={y_{1}+\Delta X_{1-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0)))$ .

${\displaystyle \mathrm {y''} _{0}={y_{2}+\Delta X_{2-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{2-0))))$ .

II combinație

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{3}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}}-x_{4}*{\operatorname {tg} \ alpha _{4-0}}-y_{3}+y_{4}}{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}-\operatorname {tg} \alpha _{4-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y'} _{0}={y_{3}+\Delta X_{3-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0))))$ .

$\mathrm {y''} _{0}={y_{4}+\Delta X_{4-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{4-0)))$ .

Note

↑ Manualul comandantului de pluton al bateriei de artilerie divizionară. - Moscova: Editura Militară a Comisariatului Poporului de Apărare, 1943.
↑ V.D. Bolşakov, E.B. Klyushin, I.Yu. Vasyutinskiy Editat de V.P. Savinnykh și V.R. Iascenko. [Principii generale pentru crearea unei fundații de altitudine planificată pentru ridicări topografice și geodezice 4.2 Rețea geodezică de topografie] // Studiu geodezic și proiectare a structurilor inginerești. - Moscova: „Nedra”, 1991. - S. 79. - 237 p.
↑ N. L.S. La naiba. Problema lui Potenot // „Quantum” : științific-pop. Fiz.-Matematică. revistă - M . : "Nauka" , 1973. - Nr. 4 . - S. 30-34 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Exemplul 9. Rezecția geodezică (problema Potenot) - Suport geodezic pentru construcție . Preluat la 28 decembrie 2019. Arhivat din original la 7 iulie 2021. (nedefinit)

Literatură

Problema lui Motorny A. D. Potenot (soluție analitică) / / Note științifice ale LPI, seria geodezică Nr. 1. - 1949. - Emisiune. XV. - S. 165-171.
Reverse single serif // Manualul geodezistului. cartea 2 / Ed. V. D. Bolshakov și G. P. Levchuk. - Ed. a 3-a. reab și suplimentare .. - Moscova: Nedra, 1985. - S. 194. - 440 p.

Link -uri

Terminologie geodezică la www.geodezist.info