Problema cu mutarea canapelei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Problema mișcării canapelei a fost formulată de matematicianul canadian , Moser , în 1966

Enunțul problemei

Problema se reduce la o idealizare bidimensională a problemei cotidiene a mutării mobilierului. În spațiul bidimensional, determinați un corp rigid de cea mai mare suprafață A care poate fi deplasat într-un „coridor” în formă de L format din „tuneluri” cu lățimea unei unități de măsură, convergând în unghi drept. Valoarea rezultată a lui A se numește de obicei constanta divan (în formulări alternative ale aceleiași probleme, acest obiect este o idealizare a unei mese, sau a unei șlep sau a unei nave într-un canal în formă de L).

Găsirea unei soluții

Deoarece un semicerc cu raza unitară este ușor de desenat în jurul colțului „coridorului”, limita inferioară pentru constanta divanului este . Limită superioară simplă $\pi /2\approx 1{,}570796327$ [ cum? ] mai arată că constanta canapelei nu depășește [1] [2] . $2{\sqrt {2}}\approx 2{,}828427124$

John Hammersley a crescut semnificativ estimarea de jos lacu o cifră asemănătoare unui receptor de telefon (vezi fig.), constând din două sferturi de cercuri de rază unitară de pe ambele părți ale unui dreptunghicu un semicerc de rază eliminat [3] [4 ] ] [5] . $\pi /2+2/\pi \approx 2{,}207416099$ $1\times 4/\pi$ $2/\pi$

În 1992, Joseph Gerver a îmbunătățit în continuare limita inferioară pentru constanta divan la , apoi această limită a fost îmbunătățită la . Figura sa este limitată de optsprezece arce de curbe analitice [6] [7] . $2{,}219531669$ $2{,}2195$

În iunie 2017 , Yoav Kallus și Dan Romic au îmbunătățit limita superioară pentru constanta canapelei la . [opt] $2{,}37$

Determinarea valorii exacte a constantei canapelei este o problemă deschisă .

Optimizare numerică

Optimizarea numerică face posibilă determinarea constantelor divanului pentru diferite curbe standard.

Canapea Hammersley folosește cercuri exterioare cu raza unității, dar dacă această restricție este eliminată, constanta canapelei poate fi mărită la ~2,21302924761374, în timp ce cercurile exterioare vor avea o rază de ~0,91363796343492 și lungimea totală va fi ~3,243492 Numim o astfel de canapea o canapea Hammersley generalizată.

Împărțind cercul exterior în două cercuri, cu punctul de contact la o tangentă de 45 de grade, puteți obține o constantă a canapelei de ~ 2,21918785. Raza cercului de la bază este R1~1,16134066, iar centrul său este deplasat în jos cu B~0,01740046. Raza cercului superior este R2~0,71499114, iar lungimea canapelei este L~3,22797195. Dacă optimizăm suplimentar ținând cont de unghiul de înclinare al tangentei, în punctul de contact al cercurilor exterioare, atunci putem obține constanta canapea ~2,219237814, în timp ce R1~1,19650, B~0,02777, R2~0,72655, tangenta. la 39,86407 grade si L~3,22848.

Note

↑ Neal R. Wagner. The Sofa Problem (neopr.) // The American Mathematical Monthly . - 1976. - T. 83 . - S. 188-189 . - doi : 10.2307/2977022 .
^ J. Stewart , Another Fine Math You've Got Me Into , Courier Dover Publications, 2004.
↑ HT Croft, KJ Falconer, RK Guy. Probleme nerezolvate în geometrie (nedefinite) . - Springer, 1994. - P. 198. - ISBN 9780387975061 .
↑ Problemă cu mutarea canapelei la Mathsoft (conține diagrama canapelei lui Gerwer)
↑ Forum Gambler.ru - Subiect: Corridor, G Arhivat 14 martie 2012 la Wayback Machine (conține o diagramă a canapelei Gerver)
↑ Joseph L. Gerver. On Moving a Sofa Around a Corner (neopr.) // Geometriae Dedicata . - 1992. - T. 42 , nr 3 . - S. 267-283 . - doi : 10.1007/BF02414066 .
^ Weisstein , Eric W. The Couch Moving Problem la Wolfram MathWorld .
↑ Yoav Kallus, Dan Romik. Limite superioare îmbunătățite în problema canapelei în mișcare // arXiv:1706.06630 [matematică]. — 21.06.2017. Arhivat din original pe 21 august 2017.