Sarcina celor trei prizonieri

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 iunie 2019; verificările necesită 9 modificări .

Problema celor trei prizonieri este un paradox în teoria probabilității, publicată pentru prima dată de Martin Gardner în 1959 [1] [2] . Problema are o natură comună cu paradoxul Monty Hall și nu este un paradox în sensul restrâns al cuvântului.

Formulare

Trei deținuți, A, B și C, sunt plasați în izolare și condamnați la moarte. Guvernatorul alege aleatoriu unul dintre ei și îl iertă. Paznicul care păzește prizonierii știe cine este grațiat, dar nu are dreptul să spună asta. Prizonierul A îi cere gardianului să-i spună numele acelui (celălalt) prizonier care va fi executat cu siguranță: „ Dacă B este grațiat, spune-mi că C va fi executat. Dacă C este grațiat, spune-mi că B va fi executat. Eu, arunc o monedă și rostesc numele lui B sau C. ”

Paznicul îi spune prizonierului A că prizonierul B va fi executat. Prizonierul A este bucuros să audă asta, deoarece crede că acum probabilitatea de supraviețuire a lui este de 1/2, și nu de 1/3, așa cum era înainte. Prizonierul A îi spune în secret prizonierului C că B va fi executat. Prizonierul C este, de asemenea, bucuros să audă asta, deoarece încă mai crede că probabilitatea de supraviețuire a prizonierului A este de 1/3, iar probabilitatea de supraviețuire a crescut la 2/3. Cum poate fi aceasta?

Soluție

Răspunsul corect este că prizonierul A nu a primit informații despre propria sa soartă. Prizonierul A, înainte de a cere gardianului, își estimează șansele ca 1/3, la fel ca B și C. Când gardianul spune că B va fi executat, este aceeași cu probabilitatea ca C să fie grațiat (probabilitate 1/3) , sau A este grațiat (probabilitatea 1/3) și moneda care alege între B și C a ales B. (Probabilitatea este 1/2; în general, probabilitatea ca B să fie numit este 1/6 deoarece A este grațiat). Prin urmare, știind că B va fi executat, prizonierul A estimează astfel șansele de grațiere: șansele lui sunt acum 1/3, dar acum, știind că B va fi executat cu siguranță, șansele lui C de grațiere sunt acum 2/3.

Formulare matematică

Indicați și ca evenimentele care înseamnă că prizonierul corespunzător va fi grațiat, iar evenimentul care înseamnă că gardianul va rosti numele lui B. Apoi, folosind teorema lui Bayes, probabilitatea de grațiere a prizonierului A: $A,B$ $C$ $b$

P(A\mid b)={\frac {P(b\mid A)P(A)}{P(b\mid A)P(A)+P(b\mid B)P(B )+P(b\mid C)P(C)}}=

={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1} {3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.

Soluție intuitivă

Prizonierul A are o șansă de 1/3 să fie grațiat. A ști care dintre B și C va fi executat nu schimbă această șansă. După ce prizonierul A află că B va fi executat, își dă seama că, dacă el însuși nu este grațiat, atunci șansa ca C să fie grațiat este acum de 2/3.

Materiale pentru înțelegere

La fel ca și în cazul problemei Monty Hall, va fi util aici să privim această problemă din diferite puncte de vedere.

Lista cazurilor posibile

Pot apărea următoarele cazuri:

A este grațiat și gardianul anunță că B va fi executat: 1/3×1/2=1/6 din toate cazurile
A este grațiat și gardianul anunță că C va fi executat: 1/3×1/2=1/6 din toate cazurile
B este grațiat și gardianul anunță că C va fi executat: 1/3 din toate cazurile
C este grațiat și gardianul anunță că B va fi executat: 1/3 din toate cazurile

Cu condiția ca într-o situație în care A este grațiat (probabilitatea unei astfel de situații este de 1/3), gardianul alege aleatoriu numele persoanei executate, există șansa de 1/2 ca acesta să spună „B” și 1 /2 că va spune „C”. Aceasta înseamnă că probabilitățile sunt: 1/6 în timp ce (1/3 [A este cu adevărat iertat] * 1/2 [gardianul îl cheamă pe B]), gardianul îl cheamă pe B pentru că A este iertat și (1/3 [A este cu adevărat iertat] iertat] * 1/2 [paznicul cheamă C]) gardianul cheamă C pentru că A este iertat. În total, aceasta este 1/3 din toate cazurile (1/6 + 1/6) când A este grațiat.

Acum este clar că gardianul răspunde „B va fi executat” la întrebarea prizonierului A (acestea sunt cazurile 1 și 4) în 1/2 din toate cazurile; 1/3 - probabilitatea ca C să fie grațiat, dar A să fie în continuare executat (cazul 4); și doar 1/6 este probabilitatea ca A să fie grațiat (cazul 1). Prin urmare, cota lui C: (1/3)/(1/2)=2/3, cota lui A: (1/6)/(1/2)=1/3.

Principala captură aici este că gardianul nu poate spune numele celui care va fi iertat. Dacă această condiție este exclusă, problema inițială poate fi reformulată astfel: deținutul îi cere gardianului să-i spună soarta unuia dintre cei doi prizonieri B și C, fără a preciza cine va fi executat. În acest caz, gardianul aruncă o monedă pentru a alege între B și C și apoi spune soarta unuia dintre ei. Cu această formulare, sunt posibile următoarele cazuri.

A este grațiat, gardianul spune: B va fi executat (1/6)
A este grațiat, gardianul spune: C va fi executat (1/6)
B grațiat, gardianul spune: B grațiat (1/6)
B grațiat, gardianul spune: C va fi executat (1/6)
C grațiat, gardianul spune: B va fi executat (1/6)
C grațiat, gardianul spune: C grațiat (1/6)

Toate rezultatele au o probabilitate egală - 1/6. Deci: paznicul în această situație alege încă din 6 cazuri și tot nu poate dezvălui cărțile și spune cine este iertat. În cazul 3, gardianul nu poate spune că B este grațiat, așa că va spune că C va fi executat (ceea ce va fi adevărat, pentru că dacă B este grațiat, prizonierii A și C vor fi executați). Tot în cazul 6, când C este grațiat, dar gardianul, care nu are dreptul să spună acest lucru, va numi pe unul dintre cei care vor fi executați - îi va spune prizonierului A numele prizonierului B. Aceasta aduce probabilitatea ca cazurile 4 și 5 până la 1/3, ceea ce ne duce la rezultatele inițiale.

Care este paradoxul?

Oamenii cred că probabilitatea este 1/2, deoarece ignoră esența întrebării pe care prizonierul A o pune gardianului. Dacă gardianul ar putea răspunde la întrebarea „ Va fi executat prizonierul B?” ”, atunci în cazul unui răspuns pozitiv, probabilitatea de executare a lui A ar scădea într-adevăr de la 2/3 la 1/2.

Constrângerea din problema inițială a celor trei prizonieri face ca întrebarea prizonierului A să fie inutilă, deoarece există șanse de 100% ca doi prizonieri să fie executați. Adică, chiar dacă A este iertat, i se va numi orice nume; dacă A este condamnat la moarte, atunci un alt prizonier va fi executat împreună cu el, numele său va fi dat prizonierului A.

Se dovedește că prizonierul A, prin întrebarea sa, află pur și simplu faptul că unul dintre prizonierii B și C va fi executat, ceea ce reiese deja din condițiile problemei.

Vezi și

Note

↑ Jocuri matematice . științific american . Preluat la 6 noiembrie 2020. Arhivat din original la 18 octombrie 2021.
↑ Martin Gardner. Puzzle-uri matematice și distracție. - 2. - Moscova: Mir, 1999. - S. 305-306.

Link -uri

Mosteller F. Cincizeci de probleme probabilistice distractive cu soluții . Moscova: Nauka, 1975, p. 10-11.
Gardner M. Puzzle-uri matematice și divertisment . Moscova: Mir, 1999, p. 305-306.
Richard Isaac: Plăcerile probabilității . Springer 1995, ISBN 9780387944159 , p. 24-27 ( versiune online restricționată în „ Google Books ”)