Închidere (algebră)

În algebra generală , închiderea unei mulțimi în raport cu un anumit set de operații algebrice este cea mai mică extensie posibilă (adică, care nu conține altă extensie similară) a unei mulțimi date în care orice aplicare a acestor operații la elementele unei astfel de extensii nu să nu depășească limitele sale. Extensia minimă va exista întotdeauna ca intersecție a tuturor extensiilor descrise.

În mod formal, să fie un subset al purtătorului unei algebre . Atunci închiderea mulțimii față de semnătură este subalgebra minimă care conține ( ). $M$ $A$ ${\mathfrak A}=\langle A,\Sigma \rangle$ $M$ $\Sigma$ $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak A}$ $M$ $M\subseteq A_{0}$

Exemple:

Închiderea mulțimii în raport cu operația de adunare va fi mulțimea tuturor numerelor naturale . $\{unu\}$ $\mathbb {N}$
Închiderea mulțimii cu privire la operațiile de adunare și scădere va fi mulțimea tuturor numerelor întregi , $\{unu\}$ $\mathbb {Z}$
Închiderea unui set sub adunare, înmulțire sau ambele operații împreună coincide cu ea însăși. $\{0\}$

O mulțime care coincide cu închiderea sa se numește închisă algebric (în raport cu un set dat de operații).

Exemple:

Subgrupul este închis în cadrul operațiunii de grup.
Submulțimea numerelor naturale din mulțimea numerelor întregi este închisă sub operația de adunare , dar nu este închisă sub operația de scădere . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Închidere (algebră)

Vezi și