Vibrații amortizate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 ianuarie 2022; verificările necesită 16 modificări .

Oscilațiile amortizate sunt oscilații a căror energie scade cu timpul. Un proces infinit continuu al speciilor este imposibil în natură. Oscilațiile libere ale oricărui oscilator se estompează mai devreme sau mai târziu și se opresc. Prin urmare, în practică, de obicei se ocupă de oscilații amortizate. Ele se caracterizează prin faptul că amplitudinea de oscilație A este o funcție descrescătoare. De obicei, amortizarea are loc sub acțiunea forțelor de rezistență ale mediului, cel mai adesea exprimată ca o dependență liniară de viteza oscilațiilor sau pătratul acesteia. $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ $\scriptstyle u'_{t)$

În acustică: atenuare - reducerea nivelului semnalului până la inaudibilitate completă.

Un exemplu sunt oscilațiile amortizate ale unui pendul cu arc

Să existe un sistem format dintr-un arc (respectând legea lui Hooke ), al cărui capăt este fixat rigid, iar pe celălalt există un corp de masă m . Oscilațiile se fac într-un mediu în care forța de rezistență este proporțională cu viteza cu un coeficient c (vezi frecarea vâscoasă ).

Atunci a doua lege a lui Newton pentru sistemul luat în considerare poate fi scrisă ca

m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},

unde este forța de rezistență și este forța elastică. Se dovedește $F_{c}=-cv$ $F_{y}=-kx$

ma+cv+kx=0,

sau sub formă diferenţială

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

unde este coeficientul de elasticitate din legea lui Hooke , este coeficientul de rezistență, care stabilește relația dintre viteza greutății și forța de rezistență rezultată. $k$ $c$

Pentru simplitate, se introduce următoarea notație:

\omega _{0}={\sqrt {k \over m)),\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.

Valoarea se numește frecvența naturală a sistemului, coeficientul de amortizare. Cu această notație, ecuația diferențială ia forma $\omega_0$ $\zeta$

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Ecuația oscilațiilor amortizate. Soluții posibile

Ultima ecuație din secțiunea anterioară este ecuația generală pentru oscilațiile amortizate ale unei mărimi (care, în general, nu trebuie să fie o coordonată). Dacă facem abstracție de la modul în care au fost obținuți parametrii și într-un exemplu specific, o astfel de ecuație este aplicabilă pentru a descrie o clasă largă de sisteme amortizate. $X$ $\omega_0$ $\zeta$

Făcând înlocuirea , obținem ecuația caracteristică $x=e^{\lambda t)$

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,

ale căror rădăcini se calculează prin formula

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1))).

În funcție de valoarea coeficientului de atenuare, soluția este împărțită în trei opțiuni posibile.

aperiodicitatea

Dacă , atunci există două rădăcini reale, iar soluția ecuației diferențiale ia forma: $\zeta >1$

x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t)

În acest caz, oscilațiile scad exponențial de la bun început.

Limită de aperiodicitate

Dacă , cele două rădăcini reale sunt aceleași , iar soluția ecuației este: $\zeta=1$ $\lambda =-\omega _{0)$

x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t)

În acest caz, poate exista o creștere temporară, dar apoi o decădere exponențială.

Atenuare slabă

Dacă , atunci soluția ecuației caracteristice sunt două rădăcini conjugate complexe $\zeta <1$

\lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2)})

Atunci soluția ecuației diferențiale inițiale este

x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin( \omega _{\mathrm {d} }t)),

unde este frecvența naturală a oscilațiilor amortizate. $\omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2)})$

Constantele și în fiecare dintre cazuri sunt determinate din condițiile inițiale: $c_1$ $c_2$ $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

Vezi și

Literatură

Lit.: Saveliev I. V., Curs de fizică generală: mecanică, 2001.