Zarurile lui Zichermann

Zarurile lui Zicherman [1] sunt singura pereche de zaruri cu 6 fețe care conține doar numere naturale și care au aceeași distribuție de probabilitate pentru sume ca zarurile normale.

Fețele acestor oase sunt numerotate cu 1, 2, 2, 3, 3, 4 și 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Matematică

Un exercițiu comun în combinatorică elementară este de a calcula numărul de moduri în care o anumită valoare poate fi obținută cu o pereche de zaruri cu 6 fețe (sau suma a două aruncări). Tabelul de mai jos arată numărul de apariții ale unui anumit număr : $n$

n	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12
numărul de picături	unu	2	3	patru	5	6	5	patru	3	2	unu

Crazy Die este un exercițiu de matematică de combinatorică elementară care presupune să schimbați numerele de pe fețele unei perechi de zaruri cu șase fețe, astfel încât să obțineți aceleași rate de picătură a sumei ca în numerotarea standard. Oasele lui Zicherman sunt nebunești, iar renumerotarea se face numai prin numere naturale .

Tabelul de mai jos listează sumele posibile de picături pe zarurile standard și pe zarurile Zicherman. Un cub Sicherman este colorat pentru claritate: 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 , iar numerele celui de-al doilea sunt lăsate în negru, 1–3–4–5–6–8.

	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12
Zarurile standard	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Oasele lui Sicherman	1 +1	2 +1 2 +1	3 +1 3 + 1 1 + 3	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

Istorie

Zarurile lui Zicherman au fost descoperite de George Zicherman din Buffalo și publicate de Martin Gardner în 1978 în Scientific American .

Numerele pot fi aranjate astfel încât toate perechile de numere opuse să adună până la 5 pentru primul zar și 9 pentru al doilea.

Mai târziu, într-o scrisoare către Zicherman, Gardner a menționat că un magician cunoscut de el anticipase descoperirea lui Zicherman. Pentru generalizări ale zarurilor lui Zicherman la mai mult de două zaruri și alte numere de fețe, vezi articolele lui Broline [2] , Galyan și Rusin [3] , Brunson și Swift [4] , Fowler și Swift [5] .

Explicație matematică

Fie zarul canonic cu n laturi o față cu n laturi ale cărei fețe sunt marcate cu numere întregi [1,n], astfel încât probabilitatea ca fiecare număr să apară să fie 1/ n . Să luăm un cub (hexaedric) ca os canonic. Funcția generatoare a aruncării unui astfel de zar este . Produsul acestui polinom oferă în sine o funcție generatoare pentru aruncarea unei perechi de zaruri: . Din teoria polinoamelor circulare știm că ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6))$ $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9} +3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x),\;

unde d trece peste divizorii lui n și este al- lea polinom circular. De asemenea, rețineți că $\Phi _{d}(x)$

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^ {n-1}

Obținem astfel funcția generatoare a unui os canonic individual cu n laturi

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\ Phi _{d}(x)

$\Phi _{1}(x)=x-1$ se micsoreaza. Astfel, factorizarea funcției generatoare a osului canonic hexaedric este

x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x ^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

Funcția generatoare de aruncare a două zaruri este egală cu produsul a două copii ale acestei descompunere. Cum le putem descompune pentru a forma două oase regulate, astfel încât punctele de pe fețe să nu fie tradiționale? Aici corect înseamnă că coeficienții sunt nenegativi și suma este șase, astfel încât fiecare os are șase fețe și fiecare față are cel puțin un punct (adică polinomul generator pentru fiecare os trebuie să fie un polinom p(x) cu coeficienți pozitivi și p(0 ) = 0 și p(1) = 6). Există o singură astfel de extindere:

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

și

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+ x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

Aceasta ne oferă distribuția punctelor de pe fețele unei perechi de zaruri Sicherman - {1,2,2,3,3,4} și {1,3,4,5,6,8}.

Tehnica poate fi extinsă la oase cu un număr arbitrar de fețe.

Vezi și

Calendar cu două cuburi

Note

↑ De la Penrose Mosaics la Secure Ciphers, 1993 , p. 328.
↑ Broline, 1979 .
↑ Gallian, Rusin, 1979 .
↑ Brunson, Swift, 1997/8 .
↑ Fowler, Swift, 1999 .

Literatură

Gardner M. Capitolul 19. Zarurile lui Zicherman, principiul lui Kruskal și alte curiozități // De la țiglă Penrose la cifruri de încredere = țigle Penrose la cifruri trapdoor / Per. din engleza. Yu. A. Danilova . - M .: Mir , 1993. - S. 328-348. — 416 p. — ISBN 5-03-001991-X .
D. Broline. Renumerotarea fețelor zarurilor // Revista de matematică. - Revista de Matematică, 1979. - V. 52 , nr. 5 . — S. 312–315 . - doi : 10.2307/2689786 . — .
BW Brunson, Randall J. Swift. Sume la fel de probabile // Spectrul matematic. — 1997/8. - T. 30 , nr. 2 . — S. 34–36 .
Brian C. Fowler, Randall J. Swift. Reetichetarea zarurilor // College Mathematics Journal. - The College Mathematics Journal, 1999. - V. 30 , nr. 3 . — S. 204–208 . - doi : 10.2307/2687599 . — .
JA Gallian, DJ Rusin. Polinoame ciclotomice și zaruri nonstandard // Matematică discretă . - 1979. - T. 27 , nr. 3 . — S. 245–259 . - doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 .
Martin Gardner. Jocuri matematice. — Scientific American . - 1978. - T. 238. - S. 19–32. - doi : 10.1038/scientificamerican0278-19 .