Îndoirea plăcilor

Îndoirea plăcilor în teoria elasticității se referă la calculul deformațiilor în plăci (în cazul general al grosimii arbitrare, dar mici în comparație cu dimensiunile longitudinale), sub acțiunea forțelor și momentelor externe perpendiculare pe planul farfurie. Valoarea abaterii poate fi determinată prin rezolvarea ecuațiilor diferențiale ale teoriei plăcilor corespunzătoare în funcție de ipotezele pentru micimea anumitor parametri. Din aceste deformari se pot calcula tensiunile din placa. Pentru solicitările cunoscute, teoria defecțiunii poate fi utilizată pentru a determina dacă integritatea plăcii este compromisă la o sarcină dată. Deformarea unei plăci este o funcție a două coordonate, deci teoria plăcilor este formulată în general în termeni de ecuații diferențiale în spațiul bidimensional. De asemenea, se presupune că placa inițial (în stare netensionată) are o formă plată.

Îndoirea plăcilor în teoria Kirchhoff-Love

Definiții

Pentru o placă dreptunghiulară subțire cu grosimea , modulul Young și raportul lui Poisson , parametrii elastici pot fi determinați în termeni de deformare a plăcii . $H$ $E$ $\nu$ $w$

În sistemul de coordonate carteziene, rigiditatea la încovoiere este determinată de

D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right))).

Momente

Momentele încovoietoare pe unitatea de lungime sunt date de [1]

M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2})}+\nu {\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\dreapta),

M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+{\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\dreapta).

Se determină cuplul pe unitatea de lungime

M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y)).

Forțe

Forțele tăietoare pe unitatea de lungime sunt determinate de expresia [2]

Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),

Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).

Tensiuni

Componentele tensiunii de încovoiere sunt determinate de expresie

\sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}} +\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right),

\sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right).

Efortul de forfecare este stabilit

\tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.

Deformații

Deformarile de încovoiere în teorie pentru abateri mici sunt determinate de

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}.

Deformarile de forfecare din teorie pentru abateri mici sunt date de

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y)}+{\frac {\partial v}{\partial x)}=-2z{\frac {\partial ^{ 2}w}{\partial x\partial y)).

În teorie, pentru deviațiile mari ale plăcilor, deformațiile membranei sunt luate în considerare sub formă

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x)}+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial x} }}\dreapta)^{2},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y)}+{\frac {1}{2)}\left({\frac {\partial w}{\partial y) }}\dreapta)^{2},

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y)}+{\frac {\partial v}{\partial x)}+{\frac {\partial w}{\ parțial x)){\frac {\partial w}{\partial y)).

Abateri

Aceste abateri sunt determinate

u=-z{\frac {\partial w}{\partial x)),

v=-z{\frac {\partial w}{\partial y)).

Concluzie

În teoria plăcilor Kirchhoff–Love, sistemul de ecuații definitorii constă din [3]

N_{\alpha \beta ,\alpha }=0

și

M_{\alpha \beta,\alpha \beta}-q=0.

Sau în formă extinsă (coordonată).

{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~ {\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0,

și

{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\ x_{1}\partial x_{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22)){\partial x_{2}^{2))}=q.

unde sarcina transversală aplicată pe unitate de suprafață și grosimea plăcii este , tensiunea , și $q(x)$ $H=2h$ $\sigma_{ij}$

N_{\alpha \beta}:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta}~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta}:= \int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.

Mărimea are dimensiunea unei unități de forță pe unitatea de lungime. Mărimea are unitatea de moment pe unitatea de lungime. $N$ $M$

Pentru plăci izotrope omogene cu modulul Young și raportul lui Poisson , aceste ecuații se reduc la [4] $E$ $\nu$

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1 -\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}

unde este deformarea suprafeței mijlocii a plăcii. $w(x_{1},x_{2})$

Mici deflexiuni ale plăcilor dreptunghiulare subțiri

Deviațiile mici ale plăcilor dreptunghiulare subțiri sunt descrise de ecuația plăcii subțiri Germain-Lagrange

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4)}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2))}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4))}={\cfrac {q}{D)).

Această ecuație a fost derivată pentru prima dată de Lagrange în decembrie 1811, care a corectat un raport al lui Sophie Germain .

Deformare mare a plăcilor dreptunghiulare subțiri

O deviere mare a plăcilor dreptunghiulare subțiri este descrisă de ecuațiile pentru placa Feppl-von Karman

{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4)}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{ \partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\dreapta],

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4)}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D} }\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}-2{\cfrac {\ partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right),

unde este funcția de stres. $F$

Farfurii rotunde Kirchhoff-Love

Îndoirea plăcilor circulare poate fi studiată prin rezolvarea ecuației de bază cu condiții la limită adecvate. Aceste soluții au fost găsite pentru prima dată de Poisson în 1829. Coordonatele cilindrice sunt convenabile pentru astfel de probleme. z este distanța punctului față de planul mijlociu al plăcii.

Ecuația principală în formă fără coordonate are forma

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.

În coordonate cilindrice , $(r,\theta,z)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r))\right)+{\frac {1}{r^{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2))}+{\frac {\ parțial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.

Pentru plăcile rotunde încărcate simetric, unde îndoirea depinde doar de rază, obținem $w=w(r)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\ ,.

Prin urmare, ecuația principală va lua forma unei ecuații diferențiale obișnuite [5]

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r} }{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.

Dacă și sunt constante, atunci integrarea directă a ecuației principale are o soluție $q$ $D$

w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+ {\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}

unde sunt constantele de integrare. Panta suprafeței de deviere este $C_{i}$

\phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+ C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.

Pentru o placă rotundă, cerința ca deformarea să fie finită și abruptul deformarii la implică faptul că . Cu toate acestea, nu este neapărat egal cu 0, deoarece limita dreaptă există pe măsură ce se apropie de origine . $r=0$ $C_{1}=0$ $C_{3}$ $r\ln r\,$ $r=0$

Margini fixe

Pentru o inserție rotundă (raza a ) cu margini prinse și pe marginea inserției. Înlocuind aceste condiții la limită în soluția generală, obținem [6] $w(a)=0$ $\phi (a)=0$

w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{si}}\quad \phi ( r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.

Deplasările plăcii în plan sunt

u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text {și))\quad u_{\theta}(r)=0\,.

Tensiunile plane din placă sunt

\varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~, ~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2}) ~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.

Tensiunile în planul plăcii sunt

\sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2)}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta}\right ]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2))}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _ {rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.

Pentru grosimea plăcii , rigiditatea la încovoiere și $2h$ $D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]$

{\begin{aliniat}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3))}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+ \nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^ {2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}

Momentele rezultate (momentele încovoietoare) sunt

M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~; ~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right ]~;~~M_{r\theta }=0\,.

Efort radial maxim la și : $z=h$ $r=a$

\left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa ^{2}}{4H^{2}}}

unde . Momentele încovoietoare la limita și în centrul plăcii sunt [7] $H:=2h$

\left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right |_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{ \theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.

O placă circulară încărcată cu o forță dependentă de rază

[opt]

Plăci dreptunghiulare Kirchhoff-Love

Pentru plăcile dreptunghiulare, Navier a introdus o metodă simplă în 1820 pentru a determina deplasarea și solicitarea atunci când placa se sprijină pe margini. Ideea a fost să exprimăm sarcina aplicată în termeni de componente ale seriei Fourier, să găsim o soluție pentru o sarcină sinusoidală (o armonică Fourier) și apoi să adăugați armonicile Fourier pentru a obține o soluție pentru o sarcină arbitrară.

Sarcina sinusoidală

Să presupunem că sarcina are forma [9]

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a)}\sin {\frac {\pi y}{b)}\,.

Aici amplitudine, lățimea plăcii în direcție și lățimea plăcii în direcția . $q_{0}$ $A$ $X$ $b$ $y$

Deoarece placa este pur și simplu susținută la margini, deplasarea la marginile plăcii este zero, iar momentul încovoietor este, de asemenea, zero la limite și , zero la limite și . $w(x,y)$ $M_{xx}$ $x=0$ $x=a$ $M_{aa)$ $y=0$ $y=b$

În aceste condiții la limită și soluția ecuației pentru placă are forma [10]

w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{ \frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b} }\,.

Unde D este rigiditatea la încovoiere

D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2}})}}.

Analog cu rigiditatea la încovoiere EI. [11] Tensiunile și deformațiile din placă pot fi calculate dacă deplasarea este cunoscută.

Cu o sarcină totală în formă

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

unde și sunt numere întregi, obținem soluția [12] $m$ $n$

{\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.

Decizia lui Navier

Ecuația pentru seria trigonometrică bidimensională

Definim sarcina totală în forma [12] $q(x,y)$

q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty}a_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

unde coeficientul Fourier definit de formula [13] $a_{mn}$

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac { m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Astfel, ecuația clasică a unei plăci dreptunghiulare pentru deviații mici ia următoarea formă:

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4)}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{ \infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

O placă slab susținută cu o sarcină totală

Presupunem o soluție a formei $w(x,y)$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Diferenţialele parţiale ale acestei funcţii sunt date de expresii

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4)}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2)}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{ n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^ {2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b)),

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

Înlocuind aceste expresii în ecuația pentru placă, obținem

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi {a}}\right) ^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{ a))\sin {\frac {n\pi y}{b))=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_ {mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Echivalând cele două serii, obținem pentru coeficienți

\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi {b}}\right)^{2 }\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}

sau după permutare obținem

w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^ {2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\dreapta)^{2}}}

Deformarea unei plăci susținute liber (la colțuri) sub sarcina totală este dată de expresia [13]

w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2} }}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

O placă slab susținută cu o sarcină constantă

Pentru o sarcină distribuită uniform, avem

q(x,y)=q_{0)

Astfel, coeficientul Fourier corespunzător este dat de

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Calculând integrala dublă, avem

a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )

sau într-o altă formă de funcție pe bucăți

a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd }}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}

Deformarea unei plăci susținute liber (cu condiții la colțuri) cu o sarcină uniform distribuită este dată de

w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty } \sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}} +{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}

Momentele încovoietoare pe unitatea de lungime în placă sunt date de

M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{ 2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{ 2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Soluția lui Levy

O altă abordare a fost propusă de Levy [14] în 1899. În acest caz, începem cu o formă de deplasare presupusă și încercăm să ajustam parametrii astfel încât ecuația guvernantă și condițiile la limită să fie satisfăcute. Scopul este de a găsi soluții pentru ecuația principală astfel încât să satisfacă condițiile la limită pentru și . $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D$ $Y_{m}(y)$ $y=0$ $y=b$

Să presupunem [15]

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty}Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a))\,.

Pentru o placă care este susținută liber de marginile sale la și , condițiile la limită sunt: și . Rețineți că nu există modificări de offset la aceste muchii, ceea ce înseamnă și , reducând astfel condiția de limită momentană la expresia echivalentă . $x=0$ $x=a$ $w=0$ $M_{xx}=0$ $\partial w/\partial y=0$ $\partial ^{2}w/\partial y^{2}=0$ $\partial ^{2}w/\partial x^{2}=0$

Momente la margini

Luați în considerare cazul unei sarcini pur moment. În acest caz , funcţia trebuie să satisfacă şi ecuaţia . c În coordonatele carteziene dreptunghiulare, ecuația de bază se exprimă ca $q=0$ $w(x,y)$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4)}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.

Inlocuim expresia pentru in ecuatia principala, ceea ce duce la [16] $w(x,y)$

\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy ^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac { m\pi x}{a}}\right]=0

{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}} }{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{ m}=0\,.

Aceasta este o ecuație diferențială obișnuită cu o soluție generală [17]

Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a)}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a)}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}

unde sunt constante care pot fi determinate din condițiile la limită. Prin urmare, soluția de îndoire are forma ${\displaystyle A_{m}, B_{m}, C_{m}, D_{m))$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a} }\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.

Să alegem un sistem de coordonate astfel încât limitele plăcilor să fie la marginile la și , la . Apoi condițiile limită pentru momentele la $x=0$ $x=a$ $y=\pm b/2$ $y=\pm b/2$

w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2)}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1 }(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2} (X)

unde sunt cunoscute funcții. Soluția poate fi găsită folosind aceste condiții la limită. Se poate arăta că pentru cazul simetric, când $f_{1}(x), f_{2}(x)$

M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2)

și

f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a} }

primim [18]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \ alfa _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\ dreapta)

Unde

\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.

La fel pentru cazul antisimetric, când

M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2)

primim [19]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \ alfa _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\ dreapta)\,.

Folosind soluții simetrice și antisimetrice, se pot compune soluții mai generale.

Placă susținută cu o sarcină uniform distribuită

Pentru sarcina distribuită uniform

q(x,y)=q_{0)

Abaterea plăcii susținute centrată pe cu o sarcină uniform distribuită este determinată de expresia [20] $\left({\frac {a}{2)),0\right)$

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...} ^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a))+B_{m}{\frac {m\pi y}{a))\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{unde} }\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\ cosh \alpha _{m))}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m))}\\&G_{m} ={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end {aliniat}}\end{aliniat}}

Momentele încovoietoare pe unitatea de lungime în placă sunt date de

M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left( \nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin { \frac {m\pi x}{a}}

M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left(1-\ nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\ frac {m\pi x}{a}}

Sarcina de moment uniformă și simetrică

Pentru cazul particular când sarcina este simetrică și momentul este uniform, la , $y=\pm b/2$

M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{ 2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.

Îndoirea rezultată este

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{ \infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m))}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a))\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a))-{\frac {(2m) -1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aliniat}}

Unde

\alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a)}\,.

Momentele încovoietoare și forțele tăietoare corespunzătoare deplasării se găsesc prin formule $w$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{ m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1) \pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m} \tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m =1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\ pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y} {a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1 )\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{ \partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=  1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m))}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a} }\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}

Voltaj

\sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\ frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.

Îndoirea unei plăci cilindrice

Îndoirea cilindrică apare atunci când o placă dreptunghiulară cu dimensiuni , unde și grosime mică , este supusă unei sarcini uniforme distribuite perpendicular pe planul plăcii. O astfel de placă are forma unei suprafețe cilindrice. $a\times b\times h$ $a\ll b$ $h$

Folosind metodele Navier și Levy, se pot găsi și soluții pentru plăci susținute liber în îndoirea cilindrică cu un număr diferit de muchii libere [21] .

Îndoirea plăcilor groase ale lui Mindlin

Pentru plăcile groase, este necesar să se țină cont de efectul tensiunilor de forfecare de-a lungul grosimii asupra orientării normalei la suprafața medie după deformare. Teoria lui Mindlin oferă o abordare unificată pentru găsirea tensiunii și stresului în astfel de plăci. Soluțiile teoriei lui Mindlin pot fi obținute din soluțiile echivalente Kirchhoff-Love folosind relații canonice [22] .

Ecuații de bază

Ecuațiile canonice pentru plăcile groase izotrope pot fi scrise ca [22]

{\begin{aliniat}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right) =-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_ {2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}

unde se aplică sarcina de forfecare, modulul de forfecare, rigiditatea la încovoiere, grosimea plăcii, factorul de corecție a tensiunii de forfecare, modulul Young, raportul lui Poisson și $q$ $G$ $D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]$ $h$ $c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]$ $\kappa$ $E$ $\nu$

{\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\ frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac { 2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.

Conform teoriei lui Mindlin , deplasarea transversală a suprafeței medii a plăcii și mărimile și rotațiile corespunzătoare ale normalei față de suprafața medie în raport cu axele și . Parametrii canonici ai acestei teorii și . Factorul de corecție a tensiunii de forfecare este de obicei luat ca . $w$ $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$ $x_{2}$ $x_{1}$ ${\mathcal {A}}=1$ ${\mathcal {B}}=0$ $\kappa$ $5/6$

Soluțiile la ecuațiile de bază pot fi găsite dacă soluțiile Kirchhoff-Love corespunzătoare sunt cunoscute folosind relațiile

{\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac ({\mathcal {M))^{K)} {\kappa Gh)}\left(1-{\frac ({\ mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1))}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}} c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2))}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K)){\partial x_{2))}-{\frac {1}{ \kappa Gh))\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac ({\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_ {2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{ 2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1))}\end{aliniat }}

unde este deplasarea prezisă pentru o placă Kirchhoff-Love, o funcție biharmonică astfel încât , o funcție care satisface ecuația Laplace și $w^{K}$ $\Phi$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0$ $\psi$ $\nabla ^{2}\Psi =0$

{\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q +D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K} &=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}= -D{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _ {1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c ^{2}\Omega \,.\end{aligned}}

Plăci dreptunghiulare susținute liber

Pentru plăcile susținute liber, suma momentelor Marcus este zero

{\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.

În acest caz, funcțiile , , sunt egale cu zero, iar soluția Mindlin este legată de soluția Kirchhoff corespunzătoare prin relația $\Phi$ $\psi$ $\Omega$

w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.

Îndoirea plăcilor în consolă Reissner-Stein

Teoria Reissner-Stein pentru plăcile cantilever [23] conduce la următoarele ecuații diferențiale ordinare cuplate pentru o placă cantilever cu o sarcină de capăt concentrată în punctul . $q_{x}(y)$ $x=a$

{\begin{aliniat}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac { b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1 -\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}

și condițiile de limită la punct $x=a$

{\begin{aliniat}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^ {3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{ x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac { b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}

Rezolvarea acestui sistem de două ODE dă

{\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\, \left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(xa)]}}+\tanh[\nu _{b}(xa)]\ dreapta)\dreapta]\end{aliniat}}

unde . Momentele de încovoiere și forțele tăietoare corespunzătoare deplasării $\nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )))/b$ $w=w_{x}+y\theta _{x}$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2)}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {xa}{b}}\right)-\left[ {\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\ sinh[\nu _{b}(xa)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y} }\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}} {\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_ {x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(xa)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x -2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(xa)]+23\ cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}

Voltaj

\sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\ frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.

Dacă sarcina aplicată la margine este constantă, recuperăm soluțiile pentru grinda sub o sarcină de capăt concentrată. Dacă sarcina aplicată este o funcție liniară , atunci $y$

q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2))-{\frac {y}{b} }\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/ 2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b ^{2}q_{0}}{12}}\,.

Link -uri

↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 39.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 82.
^ Reddy, JN, 2007, Teoria și analiza plăcilor și învelișurilor elastice , CRC Press, Taylor și Francis.
↑ Timoshenko, S. și Woinowsky-Krieger, S., (1959), Theory of plates and shells , McGraw-Hill New York.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 54.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 55.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 56.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 63.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 105.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 106.
↑ Cook, RD et al., 2002, Concepte și aplicații ale analizei elementelor finite , John Wiley & Sons
↑ 1 2 Timoșenko și colab., 1959 , p. 108.
↑ 1 2 Timoșenko și colab., 1959 , p. 109.
↑ Lévy, M., 1899, Comptes rendues , vol. 129, pp. 535-539
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 113.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 114.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 180.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 182.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 184.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , p. 116.
↑ Timoșenko și colab., 1959 , pp. 180-221.
↑ 1 2 Lim, GT și Reddy, JN Despre relațiile canonice pentru îndoirea plăcilor // International Journal of Solids and Structures. - T. 40 . - S. 3039-3067 . - doi : 10.1016/S0020-7683(03)00084-2 .
↑ E. Reissner și M. Stein. Torsiunea și încovoierea transversală a plăcilor cantilever // Comitetul Consultativ Național pentru Aeronautică, Notă tehnică. - 1951. - T. 2369 . - S. - .

Literatură

S. Timoşenko, S. Woinowsky-Krieger. Theory of plates and shells = Theory of plates and shells. - New York: McGraw-Hill, 1959. - 594 p. — ISBN 0-07-085820-9 .