Grup invers

Un grup invers este o construcție în teoria grupurilor care schimbă argumentele unei operații de grup binar, folosită pentru a determina acțiunea corectă . Pentru un grup dat, acesta este construit ca un grup cu același set de elemente, dar cu un produs definit de regula . $G=(G,\cdot)$ $G^{op}=(G, {*})$ ${*}$ $g * h := h \cdot g$

Grupul invers al unui grup abelian este același cu el însuși. Grupul invers al oricărui grup este izomorf cu acesta: un izomorfism este, de exemplu, ; în plus, orice anti-automorfism (o mapare unu-la-unu a unui grup pe sine care satisface relația ) generează izomorfismul corespunzător : $g\mapsto g^{-1}$ $\psi: G \la G$ $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$ $\varphi: G \to G^{op}$

\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \ varphi(b)

Dacă este dată acțiunea din dreapta a unui grup asupra unui obiect dintr-o anumită categorie: , atunci , definită ca (sau ), este o acțiune din stânga. $G$ $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ $g^{op}x = xg$

Cu o definiție categorică a unui grup, grupul invers devine un caz special al categoriei duale .

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a - Moscova: Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .