Teorema integrală a lui Cauchy

Teorema integrală a lui Cauchy este o afirmație din teoria funcțiilor unei variabile complexe .

Teorema

Fie un domeniu și funcția să fie holomorfă în și continuă în închiderea lui . Apoi, pentru un domeniu simplu conectat și pentru orice curbă Jordan închisă , relația $D\subset \mathbb {C}$ $f(z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\subset {\mathbb C},$ $\Gamma \subset A$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Dovada

Oferim o dovadă când domeniul este pur și simplu conectat și derivata este continuă. Din ecuațiile Cauchy-Riemann rezultă că forma diferențială este închisă . Să fie acum un contur închis, auto-disjunct, neted pe bucăți în interiorul domeniului funcției , delimitând domeniul . Apoi, după teorema Stokes avem: $D$ $f$ $f(z)\,dz$ $\Gamma$ $f(z)$ $D$

\int \limits _{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits _{{\partial D}}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f (z)\,dz]=0

Generalizare

Se poate dovedi și fără ipoteze suplimentare despre continuitatea derivatei. Ideea dovezii este că este suficient să se stabilească existența unei antiderivate a formei diferențiale . Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că integrala peste orice dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate este egală cu zero. $f(z)dz$

Dacă această integrală este diferită de zero și egală cu numărul , atunci când tăiați dreptunghiul în 4 dreptunghiuri egale (din nou cu laturile paralele cu axele de coordonate), modulul integral pe unul dintre dreptunghiuri va scădea cu maximum patru. Să-l tăiem și să continuăm acest proces. Dar succesiunea imbricată de dreptunghiuri trebuie să aibă un punct comun , într-o vecinătate suficient de mică a căruia . $A$ $p$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

Dar integrala peste un dreptunghi foarte apropiat al primilor doi termeni este egală cu zero, iar integrala ultimului este prea mică. Contradicția demonstrează teorema.

Diverse

O inversă restrânsă a teoremei lui Cauchy este teorema lui Morera . O generalizare a teoremei lui Cauchy la cazul unui spațiu complex multidimensional este teorema Cauchy-Poincaré .

Vezi și

Teorema Cauchy-Poincaré

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka . - 1969, 577 pagini.