Ecuația integrală Hammerstein

Ecuația integrală Hammerstein este o ecuație integrală neliniară de forma: . Aici , sunt funcțiile cunoscute și este funcția necesară. [unu] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)$ $K(t,s),\Psi (s,z),t(t)$ $\phi (t)$

Teorema existenței soluției

Ecuația Hammerstein are cel puțin o soluție dacă sunt îndeplinite următoarele condiții [2] : $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$

pentru o ecuație integrală liniară cu un nucleu , teoremele Fredholm sunt valide, iar nucleul iterat este continuu; $K(t, s)$ $K_{2}(t,s)$
miezul este simetric, adică ; $K(t, s)$ $K(t,s)=K(s,t)$
nucleul este definit pozitiv, adică toate numerele sale caracteristice sunt pozitive; $K(t, s)$
funcția îndeplinește condiția , unde $K(t, s)$ $\mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2)$

${\displaystyle C_{1},C_{2))$ - constante pozitive, , - cel mai mic număr caracteristic al nucleului ; $C_{1}<\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ $K(t, s)$

Teoreme de unicitate a soluției

Ecuația Hammerstein are cel mult o soluție dacă, pentru orice fix , funcția este o funcție nedescrescătoare [2] . $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ $s\in\stanga[a,b\dreapta]$ $F(s,z)$ $z$

Ecuația Hammerstein are cel mult o soluție dacă funcția satisface condiția Lipschitz uniform , unde [2] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ $F(s,z)$ $\mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid$ $0<\alpha <\lambda _{1)$

Note

↑ Krasnov, 1975 , p. 263.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , p. 270.

Literatură

Krasnov M. L. Ecuații integrale. — M .: Nauka, 1975. — 304 p.