Integrala secantei

Integrarea funcției secante trigonometrice a făcut obiectul uneia dintre „problemele nerezolvate de la mijlocul secolului al XVII-lea”, care a fost rezolvată în 1668 de James Gregory [1] . În 1599, Edward Wright a estimat integrala folosind metode numerice - ceea ce astăzi numim sume Riemann [2] . El a găsit o soluție în scopurile cartografiei - și anume, pentru a construi proiecții precise Mercator [1] . În anii 1640, Henry Bond, profesor de navigație, topografie și alte discipline matematice, a comparat tabelele numerice ale lui Wright de integrale secante cu tabelele de logaritmi ale tangentei și a concluzionat ipotetic [1] că

\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right) \dreapta|+C.

Această ipoteză a devenit cunoscută pe scară largă. Isaac Newton o menționează în scrisorile sale din 1665 [3] [4] .

Deși Grigory a dovedit conjectura lui Bond în 1668 în Exercitationes Geometricae , Isaac Barrow în 1670 în Geometrical Lectures a rezolvat problema printr-o metodă mai elegantă. Soluția sa a fost cea mai timpurie utilizare a expansiunii fracțiilor în integrare [1] . În conformitate cu notația modernă, soluția lui Barrow începe astfel:

\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{2}x}} =\int {\frac {\cos x\,dx}{1-\sin ^{2}x}}=\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}.

Acest lucru simplifică problema găsirii funcțiilor raționale antiderivate prin utilizarea expansiunii fracțiilor. Soluția ulterioară a problemei este următoarea:

{\begin{aliniat}\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}&=\int {\frac {dt}{(1-t)(1+t))} =\int \left({\frac {1/2}{1+t}}+{\frac {1/2}{1-t}}\right)\,dt=\\[10pt]&={ \frac {1}{2}}\ln \left|1+t\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-t\right|+C={\frac {1 }{2}}\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C.\end{aliniat}}

Și în final, după efectuarea substituției inverse , revenim la funcția variabilei x . În cele din urmă, integrala poate fi scrisă în următoarele forme echivalente: $t=\sin x,$

\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x} {1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\operatorname {tg} x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\operatorname { tg} \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operatorname {arsh} \left(\operatorname {tg} x\right)+C=\operatorname {arch} \left(\sec x\right)+C=\operatorname {arth} \left(\sin x\right)+C\\[15pt]\end {array}}\right\}=\operatorname {lam} x+C.

Aici, Lambertianul este notat ca o funcție inversă funcției Gudermann . Proiecția Mercator a unei sfere pe un plan este descrisă tocmai de această funcție, care dă dependența coordonatei verticale y a punctului de proiecție de latitudinea geografică x a punctului prototip: y = lam x . $\operatorname {lam} x$

Integrala poate fi luată și folosind substituția trigonometrică universală , dar în acest caz soluția va părea ceva mai complicată decât cea dată mai sus.

Note

↑ 1 2 3 4 V. Frederick Rickey și Philip M. Tuchinsky, „An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant”, Mathematics Magazine , volumul 53, numărul 3, mai 1980, paginile 162-166.
^ Edward Wright , Certaine Errors in Navigation, Arising either of the ordinaire erroneous making or vsing of the sea Chart, Compass, Crosse staffe, and Tables of declination of the Sunne, and fixed Starres detected and corrected , Valentine Simms, Londra, 1599.
↑ HW Turnbull, editor, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959-1960, volumul 1, paginile 13-16 și volumul 2, paginile 99-100.
↑ D.T. Whiteside, editor, The Mathematical Papers of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1967, volumul 1, paginile 466-467 și 473-475.

Vezi și

secantei

Link -uri

Lucrarea lui Rickey și Tuchinsky despre istoria acestei integrale